Cuaderno de Cultura Científica

Durante las fiestas de Navidad solemos ganar entre 0,4 y 0,9 kilos. Aunque estas ganancias son pequeñas, la realidad es que muchas personas nunca llegan a perder ese peso extra. La consecuencia de las copiosas comidas de estas fiestas y de los eventos que las rodean es que, de seguir esta tendencia, en 10 años habríamos ganado entre 5 y 10 kg. Es lógico que sea así. Durante estas fiestas solemos aumentar el sedentarismo, llegamos a consumir 6000 Kcal en una única comida (tres veces la cantidad diaria recomendada), disponemos de más cantidad y variedad de alimentos, generalmente alimentos muy calóricos y consumimos más alcohol.

Sabemos cómo perder peso y cómo mantenerlo. Se han hecho muchos estudios científicos al respecto. La alternativa sería centrarse en estrategias de prevención del aumento de peso. Sin embargo, la evidencia científica sobre esto es más limitada. Por eso un grupo de investigadores de la Universidad de Birmingham ha realizado un estudio científico que ha sido recientemente publicado en la revista BMJ (Britsh Medical Journal) sobre cómo afecta una breve intervención conductual en la prevención del aumento de peso durante las vacaciones de Navidad. El resultado del estudio fue que los participantes sometidos a la intervención conductual no solo no ganaron peso durante las Navidades, sino que lo perdieron.

La intervención conductual que los llevó a no engordar medio kilo durante las fiestas de Navidad se basó en estos tres puntos:

1. Pesarse al menos dos veces por semana.

Los participantes del estudio debían pesarse a la misma hora, desnudos o con un atuendo similar cada vez, y anotar el resultado de la báscula en una tabla.

No hay consenso científico cómo afecta pesarse al control de peso. Hay estudios que indican que no hay correlación. Y también hay publicaciones que apuntan a que pesarse con frecuencia nos hace tomar conciencia de las fluctuaciones de peso, lo que repercute en nuestra conducta alimentaria y en consecuencia favorece la pérdida de peso.

2. Información básica sobre estrategias de control de peso.

A los participantes se les proporcionó información sobre estrategias para el control de peso durante las vacaciones de Navidad. Esta información se fundamentaba en una lista de 10 recomendaciones, como mantener los horarios de comida habituales, dar al menos 10.000 pasos al día, si tienes hambre entre horas optar por fruta o lácteos, revisar las etiquetas de los alimentos y descartar aquellos que contengan altos niveles de azúcar, grasas de mala calidad o harinas refinadas, tomar raciones de comida pequeñas, o no comer mirando la televisión.

Hay evidencia científica de que seguir estas sencillas recomendaciones favorece la pérdida de peso.

3. Conocer cuánta actividad física necesitas hacer para gastar las calorías de cada alimento.

A los participantes se les entregó una tabla PACE de alimentos típicos de Navidad. La tabla PACE, por las siglas de physical activity calorie equivalent, es una tabla que muestra las calorías de una serie de alimentos típicos que se consumen en Reino Unido durante las vacaciones de Navidad, su contenido calórico, y el equivalente en actividad física para gastar esas calorías. Por ejemplo, gastar las calorías de una ración de pastel de carne requiere 21 minutos de carrera, y de un vaso de vino requiere 32 minutos de caminata.

Hay evidencia científica de que el conocimiento de PACE repercute positivamente en el control de peso.

El estudio se realizó alrededor de las Navidades de 2016 y de 2017. Para ello se escogieron 272 adultos mayores de 18 años con un índice de masa corporal de 20 o más. El 78% eran mujeres, y también el 78% de los participantes eran de etnia blanca. La edad media era de 44 años. La mitad de los participantes fueron sometidos a la intervención conductual, y la otra mitad tan solo recibió un folleto sobre vida saludable. En noviembre y diciembre se hicieron las evaluaciones previas de los participantes, y tras las Navidades, entre enero y febrero, se hicieron las evaluaciones de seguimiento.

El resultado del estudio fue que los participantes sometidos a la intervención conductual no solo no ganaron peso durante las Navidades, sino que de media perdieron 130 g. El grupo de comparación, los que solo recibieron el folleto y no fueron sometidos a la intervención conductual, ganaron 370 g de media.

Además del control de peso, en este estudio se valoraron otros parámetros relacionados con la alimentación: la restricción cognitiva, la alimentación emocional y la alimentación no controlada. Se le llama restricción cognitiva al hecho de querer restringir de manera consciente la alimentación para adelgazar. La alimentación emocional es aquella que se mueve por impulsos y emociones que no son realmente hambre, al menos no en sentido fisiológico, como bien pueden ser el estrés, la ansiedad, e incluso el enfado, la tristeza o el aburrimiento. La alimentación no controlada es aquella que no sigue una dieta bien balanceada, que no mantiene una proporción saludable de grupos alimenticios ni sigue una rutina.

El resultado del estudio sobre estos parámetros fue que los participantes que fueron sometidos a la intervención conductual sí mejoraron su restricción cognitiva, es decir, mantuvieron cierta privación de alimentos poco saludables más allá de las fiestas de Navidad. Sin embargo, la intervención conductual no mejoró significativamente la alimentación emocional ni la alimentación no controlada.

Otro dato que podemos extraer de este estudio es que los participantes sometidos a la intervención conductual consumieron un 10% menos de bebidas alcohólicas. Sabemos que las bebidas alcohólicas perjudican la salud, y la perjudican en varios sentidos. Además, las bebidas alcohólicas contribuyen al aumento de peso, ya que entre otras cosas son altamente calóricas y generalmente ricas en azúcares libres. Por eso los autores del estudio apuntan a que las campañas de prevención de la obesidad deberían estar más enfocadas a evitar el consumo de alcohol.

• Conclusión

Conocer qué nos hace ganar peso en las fiestas de Navidad, evita que lo ganemos.

• Bonus track

Si tienes como objetivo no ganar peso durante las fiestas de Navidad sin amargarte la existencia, estos cinco consejos podrían ser útiles:

1. No des la turra con el turrón.

Durante estas fiestas tendrás alrededor de seis comidas importantes y copiosas. No es para tanto. Disfruta de ellas. Si tienes una cena, procura desayunar y comer ligero, y en la cena, si te gustan los dulces navideños, es el momento para disfrutar de ellos. Ya tienes el resto del año para dar la turra con lo insaludable que es el turrón.

2. No seas cutre y no te alimentes de sobras.

En casa van a sobrar turrones, mazapanes, polvorones, cóctel de gambas, cordero… Conserva lo que puedas hasta la próxima festividad, y no te pases tres días comiendo turrón de postre. Los días más críticos son del 26 al 31. No los conviertas en una cutre-fiesta extendida de lo que fue la Navidad.

3. No, no controlas.

Barra libre no significa que tengas que beberte hasta el agua de los floreros. Si te gusta el vino, tómatelo y disfrútalo. Pero ten en cuenta que a partir de la tercera copa probablemente no estés bebiendo por placer, sino que el alcohol ya ha hecho mella y estés bebiendo por inercia.

Lo mismo con los dulces navideños. Si te gusta el turrón, disfrútalo. Pero no te tienes que terminar la tableta y aderezarlo con una docena de mazapanes. Céntrate en disfrutar, en saborear, no en engullir como si fuesen los juegos del hambre.

4. Lle-lle-lle-llena tu nevera con-con-con-con kilos de peras.

Planifica las comidas no festivas y, si no sabes si podrás, ten en casa frutas, verduras, legumbres en conserva, huevos, atún. Ese tipo de alimentos sanos, que se conservan fácilmente y que se preparan en un periquete. Olvídate de precocinados y de alimentos cargados de azúcares, harinas refinadas y grasas de mala calidad, que de eso ya vas a ir sobrado estas Navidades.

5. La peña y las risas son lo importante.

Lo importante de estas fiestas es estar con la gente con la que estás a gusto y disfrutar de ellos. Si no es tu caso, y lo que te toca es aguantar, no ahogues tus penas en azúcar y alcohol. A lo mejor deberías replantearte con quién pasas las fiestas. Tu problema no es cómo no ganar medio kilo, sino cómo librarte de esos kilos de peña chunga.

Sobre la autora: Déborah García Bello es química y divulgadora científica

El artículo Estas Navidades no engordarás medio kilo se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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En las dos primeras entradas de la serie Y tú, ¿cómo cuentas con los dedos? (parte 1 y parte 2) de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica hemos hablado de algunas de las formas de contar con los dedos de las manos que se utilizan en la actualidad a lo largo de todo el mundo, algunas de las cuales tienen un origen muy antiguo.

La práctica de contar con los dedos de las manos es tan antigua como el propio origen de los números, seguramente hace más de cuarenta mil años. Cada pueblo fue desarrollando sus propias técnicas para contar utilizando sus manos, e incluso sus pies o partes de su cuerpo. Se contaron dedos, falanges, nudillos o las zonas entre los dedos, también se utilizaron diferentes posiciones de los dedos para expresar los diferentes números, se desarrollaron sistemas de numeración asociados con diferentes bases, como 5, 10, 12 o 20, entre otras, o se inventaron sistemas más artificiales como el chisanbop o la expresión digital de los números binarios.

Lust Binary Code Aluminum Number Mixed Media Piece, de la artista finlandesa, afincada en EEUU, Veera Pfaffli. Imagen de la página web de la artista

Antes de entrar en el tema de hoy, expliquemos brevemente qué es eso de la expresión digital de los números binarios, que utilizan para contar algunas personas apasionadas de las matemáticas. Como se explica en este vídeo de Una de Mates, Los números binarios, todo número tiene una expresión binaria, como una serie de 1s y 0s, y toda expresión binaria se corresponde con un número en nuestro sistema de numeración decimal. Si tenemos en cuenta que cada posición en un número binario se corresponde con una potencia de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, etcétera), al igual que en nuestra base decimal se corresponde con una potencia de 10 (unidades, decenas, centenas, unidades de mil…), entonces podemos conocer el valor, en nuestro sistema decimal, de una expresión binaria cualquiera sin más que conocer qué potencias de 2 están (cuando hay un 1) y cuales no (cuando hay un 0). Así, el número binario, de cinco dígitos, 11010 se corresponde con el número 1 x (24) + 1 x (23) + 0 x (22) + 1 x (21) + 0 x (20) = 1 x (16) + 1 x (8) + 0 x (4) + 1 x (2) + 0 x (1) = 26.

Podemos utilizar nuestras manos para realizar la expresión digital de los números binarios teniendo en cuenta que un dedo abierto simbolizará un 1 y un dedo cerrado un 0. Si utilizamos solo una mano, podremos representar del 0 al 31 mediante las expresiones binarias con cinco dígitos, cada uno de los cuales será un 1 o un 0, es decir, un dedo abierto o cerrado. Así, las potencias de 2 se expresarán digitalmente como: la mano cerrada es 0 (en expresión binaria 00000), solo el meñique abierto 1 (00001), solo el anular abierto 2 (00010), solo el corazón 4 (00100), solo el índice 8 (01000) y el pulgar 16 (10000), como se muestra en la siguiente imagen.

La expresión digital de las cinco primeras potencias de 2 que pueden representarse con una sola mano: 0, 1, 2, 4, 8, 16

Y combinando los cinco dedos podemos representar todos los números entre 0 y 31. Como ejemplo se muestra la expresión digital de algunos números en la siguiente imagen. Si se utilizasen las dos manos, es decir, diez dedos, se podrían representar del 0 al 1023. Os planteo un pequeño juego “contad, en orden, los números del 0 al 31”.

Expresión digital de los números binarios correspondientes a los números 9, 12, 14, 19, 25 y 30

En la entrada de hoy, tercera de la serie Y tú, ¿cómo cuentas con los dedos?, vamos a explicar un método muy antiguo que permitió contar hasta 10.000, pero más aún, hasta un millón, y cuyo uso estuvo muy difundido tanto en Occidente, como en Oriente, llegando a ser utilizado en muchas zonas hasta en época reciente. Esta forma de representar los números se utilizaba ya en el antiguo Egipto, aunque quienes sí la utilizaron ampliamente fueron los romanos, griegos, árabes, persas y estuvo muy difundida en Europa en la edad media y la moderna.

La primera publicación conocida en la que se recoge la explicación de este método de contar con los dedos fue la obra, escrita en latín, De temporum ratione (Sobre la división del tiempo), en su capítulo primero De computo vel loquela digitorum (Sobre la manera de contar y hablar mediante los dedos), del monje benedictino inglés Beda el Venerable (aprox. 672 – 735).

Imagen extraída de la copia manuscrita del siglo IX “Palatinus latinus 1449”, de la obra De temporum ratione, de su capítulo De computo vel loquela digitorum, del monje inglés Beda el Venerable. Dibujo que acompaña al texto en el que Beda explica como representar hasta el número 9.999 con los dedos de las manos. Imagen del proyecto de digitalización de la Biblioteca Apostolica Vaticana. Imagen de la web de la Bibliotheca Laureshamensis digital

Beda inicia al primer capítulo De computo vel loquela digitorum de la obra De temporum ratione de la siguiente forma:

“Antes de que empecemos, con la ayuda de Dios, a hablar de cronología y su cálculo, consideramos necesario primero mostrar brevemente la muy necesaria y disponible técnica de contar con los dedos”.

A continuación, el monje benedictino explica cómo hay que colocar los dedos de la mano izquierda para representar los primeros números. Veamos lo que está escrito para los números más pequeños, del 1 al 9, tanto en latín, como su traducción al castellano (pueden compararse los textos con la imagen que se incluye después de estos).

1 “Quum ergo dicis unum, mínimum in laeva digitum inflectens, in médium palmae artum infiges”

1 “Cuando digas uno, doblando el dedo pequeño (meñique) izquierdo, colócalo en la articulación media de la palma”

2 “quum dicis duo, secundum a minimo flexum ibídem impones”

2 “cuando digas dos, dobla el segundo dedo colocándolo en el mismo lugar”

3 “quum dicis tria, tertium similiter afflectes”

3 “cuando digas tres, pliega el tercero de la misma manera”

4 “quum dicis quatuor, ibidem minimum levabis”

4 “cuando digas cuatro, levanta el meñique de dicho lugar”

5 “quum dicis quinque, secundum a minimo similitier eriges”

5 “cuando digas cinco, levanta el segundo dedo de forma similar al meñique”

6 “quum dicis sex, tertium nihilominus elevabis, medio duntaxat solo, qui Medicus appellatur, in medium palmae fixo”

6 “cuando digas seis, levanta del mismo modo el tercero, manteniendo solo el llamado medicinal (anular) unido al centro de la palma”

7 “quum dicis sepiem, mínimum solum, caeteris interim levabis, super palmae radicem pones”

7 “cuando digas siete, levanta los demás dedos, mientras colocas el pequeño sobre la base de la palma”

8 “juxta quem, quum dicis octo, medicum”

8 “haz lo mismo, cuando digas ocho, con el medicinal”

9 “quum dicis novem, impudicum e regione”

9 “cuando digas nueve, añade el impúdico (el dedo corazón) al mismo lugar”

Posición de los dedos meñique, anular y corazón para representar las unidades, los números del 1 al 9, según la descripción del monje benedictino Beda el Venerable

Como hemos podido leer, Beda llama minimum al dedo meñique, que era una de las formas de referirse al dedo pequeño de la mano. Por otra parte, según el Diccionario de la lengua española de la RAE, la expresión meñique es un “cruce de menino ‘niño’ y el dialectal mermellique o margarique, variantes de margarite, procedentes del francés antiguo margariz ‘renegado’, ‘traidor’, papel a veces atribuido a este dedo en dichos y consejas”. También se le conoce como dedo auricular, por la costumbre de hurgarse el oído (aurícula) con ese dedo, como ya menciona San Isidoro de Sevilla (556-636) en sus Etimologías (véase la cita en Antiquitatem).

El siguiente dedo, secundum, es el dedo anular, que Beda llama también medicus. Según San Isidoro de Sevilla se debe a que “con él aplican los médicos los ungüentos”, aunque varios autores lo relacionan con el hecho de que en la antigüedad se creía que existía una vena, llamada vena amoris (vena del amor), que conectaba directamente ese dedo con el corazón. Este podría ser el motivo por el cual ese es el dedo elegido para colocar el anillo de boda, y de ahí el otro nombre para ese dedo, el dedo anular. La costumbre de utilizar anillos de boda se remonta al Antiguo Egipto, de donde pasó a Grecia y Roma.

Existe otra explicación (véase, por ejemplo, el libro Number words and number symbols de Karl Menninger), conectada con la anterior, basada en el hecho de que los egipcios, que ya utilizaban esta práctica de contar con los dedos de las manos, representaban el número 6, como explica Beda, doblando el dedo anular. El número 6 es un número perfecto, por lo que en la antigüedad se consideraba un número divino, lo que hacía que el mencionado dedo tuviera un valor añadido, sobre los demás dedos, para ser elegirlo para colocar el anillo matrimonial. En matemáticas los números llamados perfectos son aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores, por ejemplo, el 6 es un número perfecto (6 = 1 + 2 + 3) y también el 28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14). Lo siguientes son 496 y 8128. Precisamente se les denominó “perfectos” por ese carácter mágico y divino que les atribuyeron en tiempos antiguos.

Al tercer dedo que menciona el monje inglés lo llama impúdico. Y ya lo explica San Isidoro de Sevilla en sus Etimologías, el motivo es “porque con frecuencia se expresa con él alguna burla infamante”. Ya entonces era, como lo sigue siendo hoy en día, el dedo utilizado para ese gesto obsceno que comúnmente se llama “sacar un dedo”, “hacer la peineta” o “hacer una peseta”, cuyo significado viene a ser algo así como “¡que te jodan!” o “¡que te den por culo!”. Este gesto ya era conocido en las antiguas Grecia y Roma. Por ejemplo, se encuentra en la comedia Las nubes [PDF] del dramaturgo griego Aristófanes (444 – 385 a.c.):

ESTREPSÍADES: ¿El digital? Por Zeus, ése lo conozco.

SÓCRATES: Pues dilo.

ESTREPSÍADES: Antes, cuando yo era niño, era éste de

aquí. (Levanta el dedo corazón)

SÓCRATES: Eres un patán y un imbécil.

Este dedo del que estamos hablando también se conoce con otros nombres, dedo medio, dedo mayor, dedo corazón, dedo cordial o digitus tertius (tercer dedo), por motivos obvios.

El artista y activista chino Ai Weiwei (Pekín, 1957) tiene una serie de obras titulada Estudio en perspectiva que consiste en fotografías tomadas entre 1995 y 2017 en las que aparece su brazo izquierdo extendido con el dedo corazón levantado, haciendo una peineta, a lugares significativos del mundo, imitando a las típicas fotos turísticas. La primera fotografía de la serie fue en la plaza Tiananmen en 1995, y ha realizado fotografías en diferentes partes del mundo. Fotografías de la página Public Delivery, donde podéis encontrar más fotografías

Volviendo al antiguo método de contar con los dedos descrito por Beda el Venerable en su libro De temporum ratione (Sobre la división del tiempo), hemos de destacar que, con tan solo tres dedos, el meñique, el anular y el corazón, de la mano izquierda, cuenta las unidades, del 1 al 9. Mientras que, como explicaremos ahora, con los otros dos dedos de esa misma mano, el índice y el pulgar, va a representar las decenas, 10, 20, así hasta 90, de forma que tan solo con la mano izquierda podrán representar todos los números entre el 1 y el 99.

Posición de los dedos índice y pulgar para representar las decenas, 10, 20, 30,…, 80 y 90, según la descripción del monje benedictino Beda el Venerable

Quizás se entienda un poco mejor con las explicaciones del propio monje, las primeras también en latín.

10 “quum dicis decem, ungem indicis in medio figes artu pollicis”

10 “cuando digas diez, coloca la uña del índice en la articulación media del pulgar”

20 “quum dicis viginti, summitatem pollicis inter medios indicis et impudici artus inmittes”

20 “cuando digas veinte, coloca la punta del pulgar entre el índice y el impúdico”

30 “cuando sigas treinta, junta en dulce abrazo el índice y el pulgar”

40 “cuando digas cuarenta, coloca el interior del pulgar sobre el lateral o el dorso del índice, con ambos dedos levantados”

50 “cuando digas cincuenta, inclina el pulgar hacia la palma, con la falange bajada al máximo, a semejanza de una letra griega  (gamma mayúscula)”

60 “cuando digas sesenta, dobla el pulgar como antes, con el índice envolviendo la parte que se encuentra ante la uña”

70 “cuando digas setenta, estando el índice como antes, es decir, envolviendo estrechamente la convexidad de la uña del pulgar, tendrá este la uña erguida hasta la articulación media del índice”

80 “cuando digas ochenta, estando el índice doblado como antes y el pulgar recto, coloca la uña de este (el pulgar) en la articulación media del índice”

90 “cuando digas noventa, coloca la uña del índice en la base del pulgar”

El monje, teólogo y poeta alemán Rabanus Maurus (aprox. 776 – 856) escribió la obra De Computo, que es un manual para calcular la Pascua, basado en los escritos del monje benedictino Beda el Venerable. Los primeros ocho capítulos son una extensa explicación de los números, en particular, hay una parte dedicada al cálculo digital. El Codex Alcobacense 426, de la Biblioteca Nacional de Portugal en Lisboa, recoge De numeris, que son dos hojas con las ilustraciones para contar con los dedos. La primera hoja recoge los gestos de las manos, para contar del 1 al 9.999 (con alguna pequeña diferencia con el texto de Beda). Imagen de la BNP

Para la descripción de las decenas, Beda utiliza los dedos índice y pulgar, que él llama indicis y pollicis. Respecto al índice, volviendo a las Etimologías de Isidoro de Sevilla, este dice así “El segundo [dedo] índice (index), y también salutaris o demonstratorius, precisamente porque con él saludamos o señalamos”. Efectivamente, este dedo se conoce con los nombres dedo índice (index) o dedo mostrador (demonstratorius), ya que es el que se utiliza para indicar, señalar o mostrar algo, y dedo saludador (salutaris).

Respecto al pulgar dice Isidoro de Sevilla “El primero se llama pulgar (pollex) porque entre los otros goza de poder (pollere) y potestad”. Según la RAE, el nombre de pulgar procede del nombre latino pollicaris, que a su vez viene de pollex, como lo llama Isidoro de Sevilla, quien ya nos da la idea de la procedencia de pollex, que no sería otra que la palabra latina pollere, poder. De pollicaris habría derivado a polgar y de ahí a pulgar. Además, el dedo pulgar también recibe el nombre de pólice, del mismo origen.

Este dedo también recibe el nombre de matapulgas o matapiojos, por ser el dedicado a tales fines. Así una de las variantes de una canción infantil donde se mencionan los cinco dedos dice así: “Este el chiquitillo, este el del anillo, este el de la mano, este el escribano, y este, el matapulgas y piojos de todo el año”. Hay quienes afirman, por ejemplo, el filólogo español Joan Corominas (1905-1997), autor del Diccionario crítico etimológico castellano e hispánico, que la “u” de pulgar derivó de la palabra pulga, que motivó el cambio de una “o” a una “u”. Hay quienes piensan que quizás el orden fue el inverso. De hecho, la RAE nos dice que pulga viene de la palabra latina pullex.

Al pulgar también se le denomina, dedo gordo.

Legendario poster de Estados Unidos I want you for the U. S. Army, realizado por el artista e ilustrador estadounidense James Montgomery Flagg (1877-1960). En el mismo, “el tío Sam” apuntaba con su dedo índice a quienes miraban el poster animándoles a que se alistasen en el Ejército de los EE.UU. durante la Primera Guerra Mundial. Imagen de Wikimedia Commons

Pero sigamos con la descripción del método para contar números del 1 al 9.999. Como hemos comentado, los dedos meñique, anular y corazón de la mano izquierda se utilizaban para representar las unidades, mientras que los dedos índice y pulgar para representar las decenas. Por otra parte, para las centenas (100, 200, 300, …) se utilizaban los dedos índice y pulgar de la mano derecha, con los mismos signos que los descritos arriba con esos mismos dedos, pero de la mano izquierda. Mientras que los dedos meñique, anular y corazón de esa misma mano derecha se utilizaban, con los mismos gestos descritos para los de la izquierda, para representar las unidades de mil (1.000, 2.000, 3.000, …).

Así, si una persona, frente a nosotros, nos quiere representar un número de hasta cuatro cifras, levantará sus dos manos frente a nosotros, como se muestra en la imagen de abajo. Y podemos observar que esta forma de representar los números mediante los dedos de las manos es una representación posicional, similar a la que utilizamos nosotros en nuestro sistema de numeración moderno, puesto que el orden de las unidades, decenas, centenas y millares es de izquierda a derecha.

La forma de representar los números mediante los dedos de las manos es una representación posicional, el orden de las unidades, decenas, centenas y millares es de izquierda a derecha, como en nuestro sistema de numeración moderno

Veámoslo con un ejemplo concreto. Para representar con los dedos de las manos el número 2.539 se colocarán los dedos como se indica en la siguiente imagen.

El número 2.539 representado con los dedos de las dos manos. Con la mano derecha se representa 2.000 con los dedos meñique, anular y corazón y 500 con el índice y el pulgar, mientras que con la mano izquierda se representa 30 con el índice y el pulgar, y con los otros tres, 9 Página del libro impreso Sūma de Arithmetica Geometria Proportioni & Proportionalita, del matemático italiano Luca Pacioli (1447-1517), en la que está descrita, mediante dibujos, la forma de representar los números con los dedos. La única diferencia respecto a lo explicado por el monje benedictino Beda el Venerable es que las centenas y unidades de millar están representadas, también con la mano derecha, pero con el orden de los dedos cambiado. Imagen extraída de la página de Tesoros Matemáticos de la revista Convergence de la MAA.

Pero el monje benedictino Beda el Venerable, que sería proclamado Doctor de la iglesia en 1899 por el papa León XIII, va más allá en el capítulo De computo vel loquela digitorum (Sobre la manera de contar y hablar mediante los dedos) explicando no solo cómo se puede contar hasta 10.000, sino hasta un millón. Para representar las decenas de mil se describen 9 posiciones diferentes de la mano izquierda respecto al cuerpo, de forma similar se utiliza la mano derecha para las centenas de mil.

En la obra Theatrum Arithmetico Geometricum (1727) del matemático, físico y fabricante de instrumentos alemán Jacob Leupold (1674-1727) se incluye una ilustración con el método de contar con los dedos de las manos que Beda recogía en su libro De temporum ratione.

Ilustración del sistema de contar con los dedos de las manos, que sigue el texto del monje Beda, de la obra Theatrum Arithmetico Geometricum (1727) del matemático, físico y fabricante de instrumentos alemán Jacob Leupold (1674-1727). En la mitad superior se ilustra la posición de las manos para unidades, decenas, centenas y unidades de mil, mientras que en la parte de abajo se ilustra la posición de las manos respecto al cuerpo para decenas y centenas de mil. Imagen de la versión digital del libro en Herzog August Bibliothek Wolfenbuttel

Veamos las explicaciones del monje Beda para expresar las distintas decenas de mil (y que, más o menos, aparecen en la ilustración anterior):

10.000 “Para cuando digas diez mil, coloca el dorso de tu mano izquierda en medio del pecho con los dedos extendidos y apuntando al cuello”

20.000 “cuando digas veinte mil, coloca sobre el pecho la mano izquierda ampliamente extendida” [nota: En la ilustración de Leupold se expresa 20.000 de una forma diferente]

30.000 “cuando digas treinta mil, coloca la misma mano (hacia la derecha y de perfil) con el pulgar apuntando al cartílago central del pecho”

40.000 “cuando digas cuarenta mil, coloca el dorso de la mano sobre el ombligo”

50.000 “cuando digas cincuenta mil, manteniendo la misma posición, apunta con el pulgar de esa mano al ombligo”

60.000 “cuando digas sesenta mil, agarra el fémur izquierdo con esa mano siempre dirigida hacia abajo”

70.000 “cuando digas setenta mil, toca el mismo sitio con el dorso de la mano”

80.000 “cuando digas ochenta mil, coloca la mano sobre el fémur”

90.000 “cuando digas noventa mil, te tocas los riñones con la palma de la mano, con el pulgar apuntando hacia la ingle”

Para las centenas de mil, es decir, entre 100.000 y 900.000, se realiza la misma operación, pero en el lado contrario, es decir, con la mano derecha.

Teniendo en cuenta todos los gestos explicados hasta ahora, se pueden representar todos los números entre 1 y 999.999, aunque la verdad es que para los números muy grandes hay que hacer un verdadero ejercicio de contorsionismo con el cuerpo.

Billete de Nicaragua de 1.000.000 de córdobas, de 1990, reimpreso sobre uno, sin uso, de 1.000 córdobas

Finalmente, existe un símbolo para un millón, 1.000.000, que consiste en entrelazar los dedos de ambas manos.

Una descripción completa de este sistema para contar con los dedos de las manos, similar a la descrita por el monje inglés Beda en su libro De temporum ratione (725), nos la encontramos bastante lejos, tanto en el espacio como en el tiempo. Se trata del Farhangi Djihangiri, diccionario persa del siglo XVI, traducido al francés y comentado por el lingüista y orientalista francés Sylvestre de Sacy (1758-1838). La diferencia entre ambos textos está en que en el texto persa las unidades y decenas se representan con la mano derecha, mientras que se utiliza la izquierda las centenas y las unidades de mil, al revés que en el texto latino.

Existe una importante cantidad de textos y objetos que atestiguan el uso de esta técnica de contar con los dedos de las manos desde la antigüedad hasta hace relativamente poco tiempo. Para quienes puedan estar interesados, pueden encontrar una amplia información tanto en los mencionados libros de George Ifrah y Karl Menninger, como en los interesantes artículos Digital Reckoning among the Ancients, de Leon J. Richardson, y Numbers in the Greco-Roman World and the Early Middle Ages, de Burma P. Williams y Richard S. Williams.

Aunque no podemos abordar aquí, por falta de espacio, estos significativos objetos y textos, al menos vamos a citar un ejemplo de cada conjunto de referencias. Por una parte, existen muchos ejemplos de téseras (según la RAE, “Tésera: pieza cúbica o planchuela con inscripciones que los romanos usaban como contraseña, distinción honorífica o prenda de un pacto”) romanas antiguas (aproximadamente, del siglo I a.c.), por ejemplo, en el Museo Británico (Londres), la Biblioteca Nacional de Francia (París) o el Museo Egipcio (El Cairo), en las cuales se puede observar en una de las caras un número romano, por ejemplo, el VII o el XIIII, y en la otra la forma en la que se representaba ese número con los dedos de las manos. Podemos especular sobre la función de estas téseras de marfil, aunque se desconoce cuál era realmente.

Téseras romanas, de marfil, de números, en una de las caras aparece el número en su expresión escrita usual, con los clásicos símbolos de los números romanos, mientras que en la otra cara aparece el mismo número con su representación con los dedos. Los números de estas téseras son 4 (IIII), 7 (VII), 12 (XII) y 14 (XIIII). Téseras de la colección de la Biblioteca Nacional de Francia. Imágenes de la página web de la BNF

Los textos que he elegido para terminar esta entrada no son quizás los más significativos, pero los he elegido por estar relacionado con otro de los gestos de las manos. Me refiero al gesto relacionado con el hecho de que una persona sea tacaña, el puño cerrado. Se suelen utilizar expresiones del tipo “tiene el puño cerrado” o “es de la hermandad del puño cerrado”.

Algunos poetas árabes y persas relacionaban ser tacaño con el número 93, puesto que este se representa, según lo que hemos explicado en esta entrada, con la uña del índice izquierdo apoyada sobre la articulación inferior del dedo pulgar (para representar al 90) y los otros tres dedos, corazón, anular y meñique plegados (para representar el 3). Ese mismo gesto, pero en la mano derecha, sería el número 9.300. Por ejemplo, el poeta árabe Yahya ibn Naufal al Yamani (siglo VII) escribía

“Noventa seguido de tres, que un tacaño representa mediante un puño cerrado presto a golpear, no es tan miserable como tus dádivas, oh Yazid”

O el escritor, filólogo y gramático árabe Khalil ibn Ahmand (aprox. 718-791), que publicó el primer diccionario de la lengua árabe y fue uno de los fundadores de la poesía árabe, escribió

“Vuestras manos no han sido creadas para la generosidad, y su avaricia es notoria: una es 3.900 y la otra está tan desprovista de generosidad como un 100 al que le falta 7”

Y uno de los grandes poetas persas, Abu’l Kassim Firdussi (aprox. 940-1020), en su libro Shahnama o Libro de los reyes, que es una gran epopeya del mundo persa, ironiza sobre la avaricia del sultán Mahmud el Ghaznavida, diciendo

“La mano del rey Mahmud, de origen augusto, es nueve veces 9 y tres veces 4”

Mítica fotografía del cantante, guitarrista y compositor estadounidense Johnny Cash (1932-2003) en un concierto en la cárcel de San Quintín en 1969, del fotógrafo estadounidense Jim Marshall (1936-2010). Jim Mashall en una entrevista poco antes de morir, contó cómo se hizo esa fotografía. En un momento del concierto, cuando le iba a sacar otra fotografía a Johnny Cash, le dijo “hagamos una para el alcaide” y el cantante hizo el conocido gesto de sacarle el dedo corazón. Fotografía de la página de Jum Marshall.

Bibliografía

1.- Página web de la artista Veera Pfaffli

2.- Jose Antonio Pérez (dirección), Raúl Ibáñez (guión), Los números binarios, Una de mates, Órbita Laika (TVE2) y Cátedra de Cultura Científica

3.- Georges Ifrah, Historia universal de las cifras, Ensayo y pensamiento, Espasa, 2002 (quinta edición).

4.- Karl Menninger, Number words and number symbols, Dover, 1969.

5.- Página web de la Biblioteca Apostolica Vaticana

6.- Página web de la Bibliotheca Laureshamensis digital

7.- Diccionario de la lengua española de la RAE

8.- Antonio Marco Martínez, Antiquitatem, Los nombres de los dedos de la mano

9.- Public Delivery, Ai Weiwei gives world his middle finger

10.- Leon J. Richardson, Digital Reckoning among the Ancients, The American Mathematical Monthly, vol. 23, no. 1, pp. 7-13, 1916.

11.- Burma P. Williams, Richard S. Williams, Numbers in the Greco-Roman World and the Early Middle Ages, Isis, vol. 86, no. 4, pp. 587-608, 1995.

12.- Página web del fotógrafo Jim Marshall

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

El artículo Contar hasta un millón con los dedos de las manos se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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1. La morra, jugando a contar con los dedos
2. Y tú, ¿cómo cuentas con los dedos? (1)
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La razón física de la aparición de notas armoniosas y la relación entre ellas no eran cosas conocidas por los griegos. Pero utilizando el principio de superposición podemos comprender y definir las relaciones armónicas de manera mucho más precisa.

Órgano de la Catedral de Berlín. Foto: Wikimedia Commons

Primero, debemos enfatizar un hecho importante sobre los patrones de onda estacionarios producidos al reflejarse las ondas en los límites de un medio. Podemos imaginar una variedad ilimitada de ondas viajando de un lado a otro. Pero, de hecho, solo ciertas longitudes de onda (o frecuencias) pueden producir ondas estacionarias en un medio dado. En el ejemplo de un instrumento de cuerda, los dos extremos de cada cuerda están fijos (por los enganches de cada cuerda, en el caso de un arpa, o por el enganche y la presión de un dedo en el caso de una guitarra) y, por lo tanto, deben ser puntos nodales.

Este hecho pone un límite superior a la longitud de las ondas estacionarias posibles en una cuerda fijada en ambos extremos de longitud l. Dada la condición de que los extremos son puntos nodales, es evidente que dicho límite se corresponde con aquella onda para la que la mitad de su longitud de onda coincide con la de la cuerda o, expresado matemáticamente, l = λ/2 (Figura 1, arriba-izquierda).

Figura 1. Wikimedia Commons

Ondas más cortas también pueden producir patrones estacionarios pero, eso sí, teniendo más nodos. En cualquier caso debe cumplirse siempre que algún número entero n de medias longitudes de onda media coincide con la longitud de la cuerda, de modo que l = nλ/2 .

Visto de otro modo, la imagen arriba-izquierda de la Figura 1 podemos decir que representa una onda de λ = 2l (fíjate que es idéntico a lo que hemos dicho arriba, pero dado la vuelta). La de arriba-derecha una de λ = 1/2 (2l); la de centro-izquierda λ = 1/3(2l); y así sucesivamente.

La relación matemática general que da la expresión para todas las longitudes de onda posibles de las ondas estacionarias en una cuerda fija es, por tanto, λn = 2l /n, donde n es un número entero. También podemos decir, simplemente que la longitud de onda es inversamente proporcional a n, es decir, λ ∝ 1/n.

Es decir, si λ1 es la longitud de onda más larga posible, las otras longitudes de onda posibles serán 1/2 λ1, 1/3 λ1, …, (1/n) λ1. Las longitudes de onda más cortas corresponden a frecuencias más altas. Por lo tanto, en cualquier medio acotado solo se pueden establecer ciertas frecuencias concretas de ondas estacionarias. Dado que la frecuencia f es inversamente proporcional a longitud de onda, f ∝ 1 / λ, podemos reescribir la expresión para todas las posibles ondas estacionarias en una cuerda pulsada como fn ∝ n.

En otras circunstancias, fn puede depender de n de alguna otra manera. La frecuencia más baja posible de una onda estacionaria es generalmente la que está más presente cuando la cuerda vibra después de ser pulsada o arqueada. Si f1 representa la frecuencia más baja posible, entonces las otras ondas estacionarias posibles tendrían las frecuencias 2f1 , 3f1 ,. . . , nf1 . Estas frecuencias más altas se denominan “sobretonos” de la frecuencia “fundamental” f1. En una cuerda “ideal”, hay en principio un número ilimitado de estas frecuencias, pero cada una de ellas es un múltiplo simple de la frecuencia más baja.

En los medios reales existen límites superiores prácticos para las posibles frecuencias. Además, los sobretonos no son exactamente múltiplos simples de la frecuencia fundamental; es decir, los sobretonos no son estrictamente “armónicos”. Este efecto es aún mayor en los sistemas más complejos que las cuerdas tensas. En una flauta, saxofón u otro instrumento de viento, se crea una onda estacionaria en una columna de aire. Dependiendo de la forma del instrumento, los sobretonos producidos pueden no ser ni siquiera aproximadamente armónicos.

Como podemos intuir a partir del principio de superposición, las ondas estacionarias de diferentes frecuencias pueden existir en el mismo medio al mismo tiempo. Una cuerda de guitarra fuertemente pulsada, por ejemplo, oscila en un patrón que es la superposición de las ondas estacionarias de muchos sobretonos. Las energías de oscilación relativas de los diferentes instrumentos determinan la “calidad” del sonido que producen. Cada tipo de instrumento tiene su propio equilibrio de sobretonos. Es por eso que un violín suena diferente a una trompeta, y ambos suenan diferente a una voz de soprano, incluso si todos suenan a la misma frecuencia fundamental.

Como ilustración sonora, Xaver Varnus juega con columnas de aire de distinta longitud en las que se provocan ondas estacionarias de distintas longitudes de onda y, por tanto frecuencias fundamentales, con los sobretonos particulares del órgano de la catedral de Berlín, interpretando a Bach.

Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance

El artículo Física de las ondas estacionarias: frecuencia fundamental y sobretonos se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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Navidad, tiempo de felicidad, alegría y perdón, ¿no era así? Si está leyendo usted esto el mismo día de su publicación, la cena de Nochebuena está al caer. Quizá la espere usted con ilusión, quizá sea un trámite familiar que espera usted sobrellevar con paciencia y elegancia. En cualquier caso, desde aquí le recomiendo poner sus mejores sentimientos sobre la mesa, junto al marisco.

Y de buenos sentimientos vengo yo a hablarle hoy, porque si el perdón es un buen propósito para esta noche, y todas las noches, el pedir perdón debería ser la otra cara de la moneda. Las disculpas, que a muchos tanto cuesta ofrecer, son ese primer paso imprescindible hacia el ser perdonado.

Claro que, amigo, no todas las disculpas son iguales y todos los que las hemos emitido, y los que las hemos recibido, lo sabemos. No es lo mismo un “perdón” a regañadientes de un niño al que su madre ha obligado a disculparse ante otro y que solo quiere acabar con el trámite cuanto antes que una sincera y devastadora disculpa de alguien que sabe que ha metido la pata hasta el fondo con una pareja, por ejemplo, a la que está a punto de perder por su error.

Al igual que cualquier otra interacción habitual entre las personas, las disculpas y sus efectos se pueden medir y analizar bajo la lupa científica. Y de ello se pueden sacar algunas conclusiones interesantes, que nos llevan a diseñar cuál es, en teoría, la disculpa perfecta.

Fue lo que hicieron un equipo de científicos del Fisher Bussiness College de la Universidad del Estado de Ohio, que publicaron un estudio en el año 2016 en el que analizaban qué hace que unas disculpas funcionen mejor que otras y qué debe incluir una buena disculpa si quiere ser efectiva. En su artículo recogían seis puntos claves que pueden encontrarse en una petición de perdón y concluían que cuantos más puntos concurriesen en una disculpa, más efectiva es.

Los seis puntos de una buena disculpa

¿Qué seis claves compondrían la disculpa perfecta? Apunten:

• Expresión de remordimiento. Es importante dejar claro que lamentas lo ocurrido.
• Explicar dónde estuvo el error. ¿Por qué hiciste aquello por lo que te estás disculpando?
• Acepta tu responsabilidad. No eches balones fuera, no pongas escusas, no culpes a otros.
• Declara tu arrepentimiento. Deja claro que no volverías a hacerlo y que estás arrepentido.
• Ofrécete a compensarlo. Pues eso.
• Pide perdón. No lo dejes en el aire, dilo: “Perdóname”.

Cómo se estudian científicamente las disculpas

Para llevar a cabo su investigación, el equipo liderado por Roy Lewicki, profesor del Fisher Bussiness College, reclutó a 333 voluntarios con distintos perfiles, y cada uno de ellos tuvo que leer una situación en la que el voluntario era el director de un departamento de contabilidad que estaba buscando a un candidato para ser contratado. Uno de los hipotéticos candidatos, en un trabajo anterior, había rellenado mal un informe fiscal para uno de sus clientes, y cuando se le interrogó por ello, se disculpó. Los voluntarios no leían la disculpa como tal, sino que se les decía cuántas y cuáles de las seis claves contenían, y debían evaluar su eficacia.

En otro experimento con 422 participantes, se les situaba en la misma situación pero esta vez sí se les daban las disculpas completas por escrito, sin enumerar cuáles o cuántas de esas claves contenían, y de nuevo se les pedía que evaluasen su eficacia.

Los resultados de ambos no fueron idénticos, pero se parecían lo suficiente como para sacar dos conclusiones. La primera es que cuantos más elementos incluya la disculpa, mejor. La segunda es que hay dos de esos elementos que parecen ser los más importantes.

Asegúrate de incluir estos dos puntos en tu disculpa

De esos seis puntos, hay dos que son los más importantes y que nunca deberían faltar en una disculpa. La primera es aceptar tu responsabilidad en lo ocurrido. A menudo sentimos la tentación de justificarnos, de mitigar el daño causado poniendo excusas o echando balones fuera. No lo hagas si quieres que tu petición de perdón funcione. Asume tu error sin dobleces.

La segunda es ofrecerse a compensar el error. “El problema que hay con las disculpas es que, al final, hablar es muy fácil. Pero cuando dices ‘Lo voy a arreglar’, te estás comprometiendo a tomar medidas para deshacer el daño causado”, explicaba Lewicki.

A la cola de los elementos más importantes está el hecho de pedir perdón como tal, que si bien también suma a la efectividad de una disculpa, parece menos efectivo a la hora de conseguirlo que asumir la propia responsabilidad en el error.

Otros aspectos más difíciles de medir

El mismo Lewicki reconocía que su estudio tenía algunas limitaciones, por ejemplo que al ser disculpas leídas, otros factores como el lenguaje corporal o el contacto visual quedaba fuera de la ecuación, cuando todos sabemos que es parte fundamental de toda comunicación entre dos personas y que a veces dice más que las palabras pronunciadas.

Por otro lado, en la eficacia de una disculpa entra también el historial previo entre agraviante y agraviado, y en concreto, el número de veces que la misma situación se ha dado previamente. Se supone que una disculpa debe ser sincera, que es algo que le cuesta a quien se está disculpando y que incluye un compromiso de no volver a las andadas.

Si esto no es así, si los agravios y las disculpas se suceden sin que el autor cambie su comportamiento, no hay disculpa que lo arregle, por mucha aceptación de la responsabilidad que incluyan.

Así que ya lo saben: perdonen y discúlpense, pero háganlo de bien y con intención de enmienda. Feliz Navidad.

Referencias:

An Exploration of the Structure of Effective Apologies – Negotiation and Conflict Management Research

The 6 elements of an effective apology, according to science- The Ohio State University

Sobre la autora: Rocío Pérez Benavente (@galatea128) es periodista

El artículo Disculparse no es un arte, es una ciencia se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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Marcha del Movimiento de Resistencia Nórdico por las calles de Ludvika (Suecia) durante la campaña electoral de las elecciones de septiembre de 2018. Imagen: EPA-EFE/Ulf Palm SWEDEN OUT/TT NEWS AGENCY

El perfil de los acontecimientos políticos que suceden a una crisis financiera es bastante predecible, tal y como ha mostrado un análisis realizado a partir de la historia política de 20 estados democráticos en el periodo que va de 1870 a 2014. En el estudio han recopilando datos procedentes de más de 800 elecciones, 100 crisis financieras -tanto de ámbito internacional como nacional- e información cuantitativa relativa a manifestaciones, algaradas violentas y huelgas generales.

La consecuencia política más clara de las crisis financieras analizadas es que los partidos de extrema derecha mejoraron sus resultados en un 30%, en promedio, durante los siguientes cinco años. Las subidas fueron especialmente pronunciadas tras las crisis iniciadas en 1929 y 2008. El fenómeno se produce también cuando las crisis son de ámbito regional, como ocurrió con la escandinava de principios de los noventa del siglo pasado. Curiosamente, los partidos de extrema izquierda no se benefician en una medida similar.

La segunda consecuencia política más notoria de las crisis financieras es el aumento de la fragmentación parlamentaria. Sube el número de partidos en el parlamento. Y a la vez, disminuye el apoyo de que goza la mayoría gubernamental en la misma medida que aumenta la fuerza de la oposición. Los partidos o coaliciones tradicionalmente mayoritarios pierden fuerza y les resulta muy difícil conformar mayorías de gobierno. Además de las consecuencias electorales, también se producen otros fenómenos de carácter político tras desencadenarse una crisis financiera: casi se triplican las manifestaciones contra el gobierno, el número de algaradas violentas se duplica y la frecuencia de las huelgas generales aumenta un 30% al menos. Por todo ello, es más difícil gobernar.

Ahora bien, los efectos no suelen ser muy duraderos. Los años más afectados son los cinco que siguen a la crisis, y al cabo de diez años tanto la fuerza de la extrema derecha como el apoyo parlamentario del gobierno vuelven a sus niveles anteriores, incluso aunque se mantenga una mayor fragmentación en el parlamento.

Curiosamente, las crisis económicas de otra naturaleza (recesiones no ligadas a una crisis financiera) no surten efectos políticos tan marcados. No está claro a qué obedece esa diferencia. Podría deberse al hecho de que las crisis financieras se perciben como el resultado de fallos políticos o de decisiones que han favorecido a una minoría de privilegiados, y no como la consecuencia de acontecimientos externos al propio sistema político, como guerras o subidas del precio del petróleo, por ejemplo. También podría obedecer a que las crisis financieras quizás tengan repercusiones sociales más graves que las de las otras crisis: podría ocurrir que los conflictos entre deudores y acreedores generen una mayor desigualdad. Y quizás pueda deberse también a que las crisis financieras suelen venir acompañadas por el rescate de los bancos quebrados, una medida que suele generar rechazo popular.

Basándose en las conclusiones de este estudio empírico hay quien cree que pronto se disiparán las consecuencias políticas de la crisis de 2008, puesto que ya han pasado 10 años desde entonces. Otros no lo ven tan claro, porque entre 1950 y 1970, aproximadamente, votaban el 80% de los europeos que podían hacerlo. Y sin embargo, desde 1970 no ha dejado de bajar ese porcentaje: ahora es del 65%. Entre tanto, la extrema derecha no ha dejado de crecer. En otras palabras, bien podría ocurrir que, además de las alteraciones que las crisis financieras provocan a corto plazo en los sistemas políticos, los europeos estemos experimentando en el último medio siglo una apatía electoral creciente, acompañada por la pujanza de la extrema derecha. Resulta, sin duda, inquietante.

Fuentes:

Funke, M., Schularik, M., Trebesch Ch. (2016): Going to extremes: Politics after financial crises, 1870–2014. European Economic Review 88: 227-260.

Oxenham, Simon (2017): The rise of political apathy in two charts. Nature doi:10.1038/nature.2017.22106 (comentario de un trabajo en curso por Simon Hix y Giacomo Benedetto)

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Sobre el autor: Juan Ignacio Pérez (@Uhandrea) es catedrático de Fisiología y coordinador de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU

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Una versión anterior de este artículo fue publicada en el diario Deia el 7 de octubre de 2018.

El artículo El extremismo político tras las crisis financieras se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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Las pruebas de la educación es un evento que en su tercera edición tuvo lugar por primera vez en Donostia-San Sebastián, el pasado 9 de noviembre, en el Centro Carlos Santamaría de la UPV/EHU, organizado por el Consejo Escolar de Euskadi, con la colaboración de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU.

Este evento tiene el objetivo de abordar distintos temas educativos desde la evidencia científica. Para ello, reúne a personas del ámbito educativo para que expliquen y debatan acerca de las pruebas (o su ausencia) que sustentan las afirmaciones, propuestas y prácticas educativas que están en boga o, en su caso, las pruebas que sustentan otras posibles prácticas. La dirección del evento corrió a cargo de la doctora en Psicología Marta Ferrero.

Cintia Rodríguez es coordinadora del Grupo de Desarrollo Temprano y Educación (DETEDUCA) de la Universidad Autónoma de Madrid. Reflexiona en esta charla sobre la importancia que tiene disponer de control ejecutivo sobre el propio comportamiento tanto para la salud mental y física como para el éxito escolar. Para ello se basará en estudios de caso realizados en en el aula de 0 a 1 año.

Edición realizada por César Tomé López

El artículo Las primeras manifestaciones de las funciones ejecutivas y la acción educativa en el aula 0-1 se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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El profesor de la Facultad de Medicina y Enfermería de la UPV/EHU, Sendoa Ballesteros, y el médico del Consultorio Rural Mirabel de Cáceres, Enrique Gavilán, han analizado la información que reciben las mujeres en las comunidades autónomas de España para decidir si participan en el programa de cribado de cáncer de mama.

Imagen: Bill Branson / NCI vía Wikimedia Commons

El programa de cribado de cáncer de mama consiste en la realización de mamografías a mujeres aparentemente sanas con el objetivo de diagnosticar la enfermedad en un estadio incipiente, tal y como aparece en la Guía de la OMS para desarrollar programas de detección temprana. En el estado se desarrolla este tipo de programas y se invita a las mujeres a participar en ellos mediante información facilitada, generalmente, a través de cartas, folletos, trípticos y la documentación que aparece en las webs oficiales.

Sendoa Ballesteros y Enrique Gavilán han analizado las cartas de invitación, dípticos y trípticos, los folletos y las webs de las 17 comunidades autónomas. No han accedido a la documentación que se publica en Ceuta y Melilla. Tras el examen de la información, los investigadores consideran que “los documentos entregados a las mujeres para que tomen decisiones informadas son mejorables; aunque lo más adecuado sería impulsar las decisiones compartidas”.

Entre otros aspectos, los autores del estudio proponen homogeneizar la cantidad y calidad del material informativo y unificar los formatos de presentación de los programas ya que difiere en cada comunidad. En cuanto al contenido, hay temas a mejorar o incluir como los derechos de las usuarias, los riesgos potenciales del cribado, los daños emocionales o una información más detallada sobre la frecuencia y razones para realizar pruebas de confirmación diagnóstica.

En este sentido, Sendoa Ballesteros y Enrique Gavilán estiman necesario que los documentos sobre estos programas respondan a las siguientes preguntas: ¿qué es el cáncer de mama? ¿en qué consiste el programa y sus objetivos? ¿cuáles son los derechos de las mujeres? ¿cuál es el impacto del programa, los beneficios y los riegos? y ¿cuál es la probabilidad de necesitar pruebas adicionales de confirmación?

Además del proceso de decisión informada, los investigadores describen alternativas como el método de decisión compartida. “Sería deseable que el personal sanitario informe de manera individualizada a las mujeres, les expliquen las opciones que hay y evalúen las preocupaciones y objetivos de cada una. De este modo se facilita que la decisión sea acorde con su nivel de riesgo, sus valores y preferencias personales”, señalan Ballesteros y Gavilán

Aunque los investigadores han encontrado lagunas en el actual material informativo, han observado una mejora en comparación con el que se facilitaba hace diez años. Han tomado como referencia el estudio Información a usuarias sobre el cribado de cáncer en la mujer, del año 2007, único de características similares elaborado en el estado.

Referencia:

Sendoa Ballesteros-Peña y Enrique Gavilán-Moral. (2018) Contenido de los documentos informativos dirigidos a las mujeres sobre el cribado de cáncer de mama en España Rev Esp Salud Pública e201810076

Edición realizada por César Tomé López a partir de materiales suministrados por UPV/EHU Komunikazioa

El artículo Hacia la decisión compartida en los programas de cribado de cáncer de mama se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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We know what it’s like to “think a phrase”, to be mentally gripped by imagined music. When we know what’s coming in a musical excerpt, the listening becomes a motion, an enactment, it “moves” us. We are constantly in the future as we listen, such that we can seem to embody it […]. My claim is that part of what makes us feel that we’re a musical subject rather than a musical object is that we are endlessly listening ahead, such that the sounds seem almost to execute our volition, after the fact.

Elizabeth Hellmuth Margulis. On Repeat

Sólo hay dos cosas invariables en este universo. Una es la velocidad de la luz, la otra es el final de esta secuencia de notas:

Pues bien, eso que acaba de sonar en tu cabeza (solo en tu cabeza) es una expectativa. Y podría agravarse hasta la crueldad, diría, añadiendo algunas notas más (no las suficientes):



¿Qué tal?, ¿cómo te sientes? Es posible que te cueste hasta seguir leyendo sin resolver la frase. La última nota genera una anticipación tan específica y urgente del final que simplemente necesitas oírlo sonar. Esa sensación es clave para entender el placer que nos causa la música: bien saciando nuestras expectativas o bien sorprendiéndonos con alguna alternativa inesperada, los compositores son capaces de jugar con nuestras emociones y mantenernos en vilo hasta el acorde final.

No es de extrañar que los psicólogos de la música estén interesados en estudiar este fenómeno. El problema es que las “expectativas” no son, precisamente, algo fácil de observar. Más allá del nudo que cada cual sienta en su propio estómago (más allá de los qualia), intentar objetivar y cuantificar una sensación difícil de definir incluso, requiere métodos experimentales de lo más diverso y medidas, en general, indirectas.

La opción más inmediata consiste, cómo no, en preguntar directamente a los oyentes. Pero la pregunta no debe ser demasiado abierta: “oye, tú qué te esperas”, porque igual la gente deposita grandes esperanzas en la música (desde amansar a las fieras a conquistar a su gran amor) y es preciso acotar el rango de respuestas posibles. Normalmente, se escogen secuencias de sonidos que forman el comienzo de una melodía y se dan a elegir al oyente varias continuaciones posibles. Resulta que no todas las partituras de Babel son igual de apetecibles: dada una serie de sonidos, los oyentes tienden a preferir otros con unas características determinadas.

El problema de preguntar de manera directa es que, en el peor de los casos, los sujetos pueden mentir y en el mejor, pueden no entender lo que se les está pidiendo en absoluto. Pero existen maneras de eludir esta elección consciente por parte del oyente. Un método consiste en utilizar señales sonoras muy ruidosas, o difíciles de desentrañar por algún motivo. Cuando una determinada secuencia musical satisface las expectativas del oyente (es decir, cuando contiene los sonidos que el este, de manera inconsciente, espera oír), le resulta mucho más fácil percibirlos. Esto se debe a que, aun sin saberlo, toda su atención se dirige hacia donde (en tiempo y en frecuencia) prevé que el sonido va a aparecer.

Es algo similar a lo que sucede con esta ilusión óptica:

Decía Gombrich que “nadie ve lo que son las cosas si no sabe lo que deberían ser” y es posible que tú no hayas visto más que una maraña informe de puntos hasta saber que esta imagen debería ser un dálmata. Pero una vez lo sepas, no podrás dejar de verlo. Es lo que se suele denominar “top-down processing” y viene a decir que los procesos cognitivos de alto nivel (expectativas, contexto, conocimientos musicales o de cualquier otro tipo, etc), condicionan los procesos perceptivos de bajo nivel. Lo que sabemos condiciona lo que oímos y vemos.

El efecto es tan poderoso que puede llevarnos a percibir sonidos e imágenes que ni siquiera se están produciendo. La ilusión del espeleólogo, por ejemplo, lleva a personas en completa oscuridad a creer ver sus propias manos. Y sucede lo mismo con los sonidos, como este sonido tan grave… que no deberías oír en absoluto porque la imagen, de hecho, es un gif.

Basándose en este mismo principio, es también posible evaluar las expectativas musicales midiendo la velocidad de respuesta ante un sonido determinado. Por ejemplo, se le puede preguntar al oyente si, dentro de una melodía, una nota es más aguda, más grave o igual a la que la precede. Si la nota era la que se esperaba oír, le resultará más fácil procesarla y responderá con mayor rapidez.

Pero incluso estos métodos, basados en respuestas perceptivas espontáneas, requieren oyentes que puedan verbalizar sus respuestas y entender una serie de instrucciones. ¿Qué sucede si queremos evaluar las expectativas musicales de bebés, por ejemplo, o de otras especies animales? En estos casos no queda más remedio que recurrir a respuestas fisiológicas o, incluso, a señales neuronales.

Existen, de hecho, respuestas espontáneas indicativas de sorpresa: por ejemplo, un giro de la cabeza hacia la dirección de la que procede el sonido (este método es especialmente útil cuando se trata de bebés) o un cambio en el ritmo cardiaco. La neurología, por su parte, examina los potenciales eléctricos del sistema nervioso en busca de determinados componentes que acompañan a los cambios en una señal percibida.

Sea cual sea el método experimental utilizado, lo cierto es que escuchar música demuestra ser una actividad mucho menos pasiva de lo que a priori pudiera parecer. Siempre que escuchamos, lo hacemos a bordo de nuestras propias expectativas, intentando anticipar cada sonido que nos llega y ajustando nuestros modelos a la nueva información. Aunque todo esto suceda de manera inconsciente, dichos modelos, nuestras famosas expectativas, describen sorprendentemente bien las características generales de la música de nuestra cultura. Quizás la musicalidad no sea más que una forma de inferencia estadística. Pero de esto hablaremos en otra ocasión.

Por lo pronto y si has llegado hasta aquí, esto te lo has ganado:



Referencias:

David Huron (2008) Sweet anticipation: music and the psychology of expectation. The MIT Press

Jonathan Berger (2013) Composing your thoughts. Nautilus

Sobre la autora: Almudena M. Castro es pianista, licenciada en bellas artes, graduada en física y divulgadora científica

El artículo ¿Qué son las expectativas musicales? se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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Tenemos muy pocos doctores en matemáticas en Francia, aunque nuestros agregados tengan una gran cultura. Es porque los franceses huyen de lo mediocre y, temiendo no hacerlo más que pasablemente, muchos no hacen nada que podrían hacer muy bien. A pesar de sus brillantes cualidades, sin la guerra, el Sr. Antoine quizá nunca habría hecho un trabajo personal. Su ejemplo invita a atreverse.

Henri Lebesgue, informe sobre la tesis de Louis Antoine (traducida de la original en [6]).

A Louis Antoine (1888-1971) le citamos en el artículo Haciendo matemáticas en la oscuridad como uno de los matemáticos que realizaron grandes contribuciones a la ciencia a pesar de su ceguera.

Louis Antoine y placa de la calle que lleva su nombre en Rennes.

Antoine comenzó sus estudios en la École normale supérieure en 1908, graduándose en 1912. El matemático Gaston Julia (1893-1978) ingresó en 1910 en aquella universidad y ambos se hicieron grandes amigos.

Antoine era subteniente en reserva en el 72 regimiento de infantería y, al declararse la Primera Guerra Mundial, fue movilizado. Desde el 2 de agosto de 1914 combatió como comandante de la segunda sección de ametralladoras del 151 regimiento de infantería. Fue herido por metralla el 25 de agosto y el 30 de octubre cuando se encontraba en una trinchera cerca de Ramscapell (Bélgica). Fue condecorado en varias ocasiones por su valentía.

Durante la ofensiva de Nivelle, el 16 de abril de 1917, su grupo atacó la plaza de Brimont. Fue herido por tercera y última vez: una bala le alcanzó la cara, perdió los dos ojos y el sentido del olfato. Su amigo Gaston Julia le acompañó durante su larga recuperación: compartían habitación en el sanatorio ya que una grave herida en la cara había hecho perder la nariz a Julia. El matemático Henri Lebesgue (1875-1941) les visitaba con frecuencia.

Antoine tuvo que dejar su trabajo como docente en enseñanza secundaria. A pesar de que recibía una pensión como inválido de guerra, deseaba retomar su actividad. Así que Louis Antoine comenzó a estudiar braille. Sus amigos Henri Lebesgue, Marcel Brillouin (1854-1948) y Gaston Julia hicieron copiar en braille los principales tratados matemáticos de la época. Las fórmulas matemáticas no tenían manera de transcribirse en este sistema de lectura, así que Antoine y un alumno de la École normale supérieure de Saint-Cloud, inventaron signos, aun utilizados en nuestros días, para los símbolos matemáticos.

Lebesgue sugirió a Antoine que se pasara a la enseñanza superior. Pero para ello debía defender una tesis doctoral. Como había poca bibliografía en Analysis Situs (topología) –y por lo tanto pocas publicaciones para traducir– Lebesgue le orientó hacia esa rama, proponiéndole extender al espacio tridimensional un resultado que se verificaba en el plano: el teorema de Jordan-Schönflies. Este teorema afirma que cualquier curva cerrada simple del plano lo divide en dos regiones, una acotada y otra no acotada, regiones que son además homeomorfas a las dos regiones delimitadas por la circunferencia unidad.

El 9 de julio de 1921, tras grandes esfuerzos, Antoine defendió su tesis de estado en Estrasburgo: Sur l’homéomorphie de deux figures et de leurs voisinages, memoria que contiene lo esencial de sus trabajos científicos. Antoine se dio cuenta de que el teorema de Jordan-Schönflies era falso en dimensión 3 –de hecho solo funciona en dimensión 2–, construyendo el denominado collar de Antoine, un conjunto homeomorfo al conjunto de Cantor y embebido en el espacio tridimensional.

El collar de Antoine se construye de manera inductiva: se parte de un toro sólido –el producto de una circunferencia y un disco cerrado, es decir, una rosquilla– X1. En el interior de X1 se embeben cuatro toros sólidos enlazados, más pequeños, que forman los eslabones de una cadena: X2 es la unión de estos cuatro toros. Dentro de cada toro sólido que forma X2 se repite la misma operación, y así sucesivamente. En la etapa n-ésima, Xn estará formado por 4n-1 toros enlazados, en cada uno de los cuales se embeben otros cuatro toros más pequeños aún, y la unión de los 4n toros enlazados definirá Xn+1.

Primeras iteraciones en la construcción del collar de Antoine. Imagen: Wikimedia Commons.

El collar de Antoine A es la intersección de esos Xn: A es un conjunto no vacío (por ser la intersección de conjuntos cerrados encajados), cerrado, totalmente disconexo (no tiene subconjuntos conexos con más de un punto), no posee puntos aislados y tiene el cardinal del continuo. Es decir, A es (homeomorfo a) el conjunto de Cantor. Además, R3–A no es simplemente conexo. Los detalles de la prueba pueden verse en [1] o en [3].

James W. Alexander (1888-1971) construyó en 1924 la denominada esfera de Antoine-Alexander –no es la misma que la esfera con cuernos de Alexander–, una esfera salvaje que contiene al collar de Antoine. se trata de un contraejemplo a la conjetura de Schoenflies en el espacio euclídeo de dimensión tres.

Probablemente Lebesgue tenía razón al afirmar que sin la guerra, Louis Antoine no habría construido ese bello y complejo ejemplo que lleva su nombre. Como comenta Gaston Julia en [5], esta frase resume el esfuerzo de Antoine en su lucha por seguir adelante:

El pensamiento es solo un destello en medio de una larga noche, pero este destello lo es todo.

Henri Poincaré

Referencias

[1] Louis Antoine, Sur l’homéomorphie de deux figures et de leurs voisinages, Thèse présentée à la Faculté des Sciences de Strasbourg, 1921

[2] Beverly L. Bechner and John C. Mayer, Antoine’s necklace or how to keep a necklace from falling apart, College Mathematics Journal 19 (4) (1988) 306-320

[3] H. Ibish, L’oeuvre mathématique de Louis Antoine et son influence, Expositiones Mathematicae 9 (3) 1991 251-274

[4] Allyn Jackson, The World of Blind Mathematicians, Notices of the AMS 49 (10) (2002) 1246-1251

[5] Gaston Julia, Notice nécrologique sur Louis Antoine, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris 272 (1971) 71–74

[6] Jean Lefort, Louis Antoine, un mathématicien aveugle, Pour la Science 352, 2007

[7] Marta Macho Stadler, Louis Antoine y su fabuloso collar, ::ZTFNews, 2013

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

El artículo Louis Antoine: el destello en medio de una larga noche se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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Un músico de harpa birmana (saung). Fuente: Wikimedia Commons

Si una compañera y tú sacudís ambos extremos de una cuerda tensa con la misma frecuencia y la misma amplitud, observaréis un resultado interesante. ¡La interferencia de las ondas idénticas provenientes de extremos opuestos hace que ciertos puntos de la cuerda no se muevan en absoluto! Entre estos puntos nodales toda la cuerda oscila hacia arriba y hacia abajo. Pero no hay propagación aparente de los patrones de onda en ninguna dirección a lo largo de la cuerda. Este fenómeno se llama onda estacionaria. Pero démonos cuenta de una cosa: la oscilación estacionaria que se observa es realmente el resultado de dos ondas que sí se propagan.

Veámoslo primero empíricamente (fenomenológicamente, dirían los filósofos) para en la próxima anotación analizarlo con lo que ya sabemos de ondas.

Comencemos con el caso más simple. Para conseguir una onda estacionarias en una cuerda no es necesario que haya dos personas agitando los extremos opuestos. Un extremo se puede atar a un gancho en una pared o al picaporte de una puerta. El tren de ondas enviado por la sacudida del extremo libre de la cuerda se reflejará en el extremo fijo. Estas ondas reflejadas interfieren con las nuevas que se desplazan en el sentido opuesto, y es esta interferencia la que puede producir un patrón estacionario de nodos y oscilaciones.

Onda estacionaria (negro). Los puntos rojos son los nodos. Las ondas roja y azul se desplazan en direcciones opuestas. Fuente: Wikimedia Commons

Pero no hace falta sacudir un extremo. De hecho podemos atar ambos extremos de la cuerda a puntos fijos y pulsar la cuerda, como la de un arco. Desde el punto pulsado, un par de ondas salen en direcciones opuestas y luego se reflejan en los extremos. La interferencia de estas ondas reflejadas que viajan en direcciones opuestas puede producir un patrón estacionario como antes. Las cuerdas de guitarras, violines, pianos y todos los demás instrumentos de cuerda actúan de esta manera. La energía dada a las cuerdas crea ondas estacionarias. Parte de la energía se transmite entonces desde la cuerda vibrante al cuerpo del instrumento; las ondas de sonido enviadas desde allí tienen esencialmente la misma frecuencia que las ondas estacionarias de la cuerda.

Las frecuencias de vibración a las que pueden existir las ondas estacionarias dependen de dos factores. Uno es la velocidad de propagación de la onda a lo largo de la cuerda. El otro es la longitud de una cuerda. La conexión entre la longitud de la cuerda y el tono musical que puede generar esta cuerda se ha conocido durante milenios y contribuyó indirectamente a la idea de que la naturaleza se basa en principios matemáticos.

Al comienzo del desarrollo de los instrumentos musicales, los músicos reconocieron y empezaron a saber producir ciertas armonías agradables al pulsar una cuerda cuya longitud se modificaba por la existencia de diferentes puntos fijos, ya fuesen cuerdas de una longitud dada atadas a extremos de madera como en una lira, ya una cuerda en la que se hacía una presión con los dedos de la mano que no pulsaba (o usaba un arco para inducir la vibración) a distintas longitudes premarcadas. Las armonías se producen si la cuerda es pulsada mientras está restringida a longitudes que corresponden a proporciones de números enteros pequeños. Así, la relación de longitud 2: 1 da la octava, la 3: 2 la quinta, y la 4: 3 la cuarta.

Esta sorprendente conexión entre armonía musical y números simples (enteros) animó a los pitagóricos a buscar otras relaciones numéricas o armonías en el Universo. Este ideal pitagórico influyó mucho a la ciencia griega, y muchos siglos más tarde inspiraron gran parte del trabajo de Kepler. En general, el ideal se mantiene vivo a día de hoy en muchas aplicaciones de las matemáticas a la experiencia física que son consideradas bellas, habiendo quien incluso establece la belleza como guía de descubrimiento.

En este vídeo puede verse un uso creativo de armonías usando ondas estacionarias en cuerdas dispuestas de diferente manera. En él aparece mi admirada Cynthia Miller Freivogel (solista) que usa un instrumento de ondas estacionarias para uso con arco (un violín barroco) construido por Schorn en Salzburgo en 1715, antes de que se supiese mucho sobre la física de las ondas.

Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance

El artículo Ondas estacionarias se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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El estómago u órgano equivalente es donde se inicia realmente la digestión del alimento, ya que la digestión bucal es de mínima importancia cuantitativa y suele completarse, de hecho, en el estómago.

El estómago de bivalvos

El estómago de los bivalvos tiene interés porque tene características muy diferentes a los del resto de animales.

Como en muchas otras especies, el estómago sigue al esófago que trae el alimento desde la boca. Además, en el sistema digestivo de bivalvos hay una glándula cuyos divertículos se abren a la luz estomacal. Estos divertículos contienen células que realizan digestión intracelular, pero los materiales que son incoprorados por ellas han sufrido un tramiento previo en el estómago.

El tratamiento en cuestión corre a cargo del llamado estilo cristalino, una barra sólida o semisólida de apariencia cristalina formada por una matriz glucoprotéica que contiene enzimas digestivas. El estilo, que se proyecta desde el llamado “saco del estilo”, gira de forma permanente impulsado por baterías de cilios presentes en el saco. La rotación ejerce una acción doble sobre el cordón de alimento: por un lado muele las partículas alimenticias (microalgas y detritos microscópicos) al aplastarlas contra la pared del estómago, y por el otro, las enzimas del estilo realizan la digestión enzimática.

Los productos de ese primer tratamiento mecánico y enzimático pasan a los divertículos de la glándula donde son absorbidos e, intracelularmente, sometidos a ulterior digestión en el interior de lisosomas digestivos. El material no digerido, así como los restos de la digestión intracelular son evacuados al intestino para su posterior expulsión de forma compactada.

Los bivalvos carnívoros tienen un estilo mucho más pequeño que el de los suspensívoros y cuentan con una molleja quitinosa, que ayuda a triturar el alimento antes de su digestión

El mesenterón de insectos

Cámara de filtración de Cercopidae 1: estomodeo; 2: válvula cardíaca; 3: parte anterior del mesenterón; 4: Cámara de filtración; 5: membrana peritoneal; 6: parte media del mesenterón; 7: tubos de Malpighi; 8: parte posterior del mesenterón; 9: proctodeo; 10: recto.

En insectos al sistema digestivo medio también se le denomina mesenterón y es el órgano en el que se inicia la digestión del alimento. A diferencia del estómago de vertebrados, el mesenterón es solo ligeramente ácido. Uno de los rasgos más característicos del de muchas especies de insectos es la presencia de la membrana peritrófica, que separa el alimento del epitelio. Se trata de una red porosa (permeable) de filamentos de quitina embebida en una matriz de proteínas y mucopolisacáridos. Aunque sus funciones no están bien establecidas, se le atribuyen las siguientes:

• Protección. Quizás proteja el epitelio de la acción abrasiva del alimento.
• Motilidad. Quizás contribuya a empujar el alimento a lo largo de esta parte del sistema digestivo.
• Defensa. Puede evitar que patógenos presentes en el alimento alcancen el epitelio y, por lo tanto, los tejidos del huésped. El tamaño de poro es inferior al de las bacterias, pero estas cuentan a menudo con enzimas y toxinas que pueden superar esa barrera.
• Digestión. La membrana peritrófica genera dos espacios en el interior del mesenterón, el ectoperitrófico (entre la membrana y el epitelio) y el endoperitrófico (en el interior de la membrana) y de esa forma se puede llevar a cabo una digestión especializada. La tripsina (proteasa) y la amilasa se localizan en el espacio endoperitrófico, donde inician la digestión del alimento. En el ectoperitrófico se localizan la aminopeptidasa y la trehalasa, donde completan la digestión.

En insectos hemípteros, como los áfidos, que se alimentan de grandes cantidades de jugos vegetales, el digestivo medio presenta una “cámara de filtración”, que es una modificación del canal cuya función es extraer el exceso de agua que hay en el alimento.

El estómago de vertebrados

Algunas especies de vertebrados, como lampreas, peces bruja, ciertos osteictios y algunas larvas de anfibios anuros carecen de estómago. En los mamíferos monogástricos el estómago es una cámara muscular en forma de saco que se encuentre entre el esófago y el intestino delgado. Hay variantes de este modelo general que se diferencian por la composición del epitelio que tapiza el interior del estómago. Algunas especies tienen un estómago multicameral, como el de las ratas, por ejemplo. Y el estómago digástrico de los rumiantes de caracteriza porque sus compartimentos desempeñan funciones distintas.

El estómago desempeña tres tareas principales:

• Almacenamiento. Mantiene el alimento ingerido en su interior hasta que puede ser evacuado al intestino delgado a un ritmo tal que su digestión y absorción se puedan producir de manera óptima.
• Digestión. La secreción de ácido clorhídrico y determinadas enzimas dan comienzo al proceso digestivo.
• Formación del quimo. La comida es pulverizada y mezclada con los jugos gástricos mediante movimientos de la pared muscular, dando lugar a un fluido líquido y espeso conocido como quimo. Hasta que tal mezcla no se produce, el contenido estomacal no pasa al duodeno.

En anotaciones próximas iremos viendo con funcionan los estómagos, principalmente los de mamíferos porque son los que mejor conocemos.

Sobre el autor: Juan Ignacio Pérez (@Uhandrea) es catedrático de Fisiología y coordinador de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU

El artículo El estómago (u órgano equivalente) se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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Las investigaciones para encontrar una vacuna contra la malaria comenzaron a principios del siglo XX sin mucho éxito. Una vacuna es la última, más eficaz y mejor solución en la lucha contra una enfermedad. Es un solo producto que, mejor en una que en varias dosis, protege por largo tiempo, quizá durante el resto de la vida del vacunado. La vacuna ideal debe ser sencilla en su aplicación, sin necesidades prácticas excepcionales, y que se pueda aplicar a muchas personas en pocos días. Por otra parte, desarrollar una vacuna lleva muchos años: la vacuna contra la malaria RTS,S tuvo sus primeros ensayos en 1985 y fue aprobada, con la marca Mosquirix, en 2015.

Entre 1910 y 1950 se hicieron muchos ensayos en nuestra especie, primates y aves, pero no funcionaron. Fue en 1967 cuando Ruth Nussenzweig y su grupo, de la Universidad de Nueva York, publicaron sus estudios sobre la inmunidad en ratones después de inyecciones de mosquitos irradiados con rayos X. Sin embargo, todavía en la actualidad solo existe una vacuna con licencia aunque, ya lo veremos, hay ensayos clínicos de varias incluso sobre grandes poblaciones.

La dificultad está en desarrollar una vacuna contra un organismo, el protozoo plasmodio, cuyas células eucariotas, con núcleo, son iguales que las nuestras. Por tanto, cualquier ataque contra estas células puede dañar también al enfermo. Y, además, el plasmodio tiene un ciclo de vida complicado, con varias fases y varios huéspedes, y en todos ellos cambia lo suficiente como para necesitar una vacuna concreta para cada una de esas fases.

Los expertos, con modestia y después de intensos debates, se han marcado dos objetivos no excluyentes entre sí: conseguir una vacuna con una eficacia del 75% y que se mantenga activa durante dos años; y, también, que tenga una respuesta rápida a la malaria, con una eficacia mayor del 50% y que se mantenga más de un año.

Para 2013 ya existían, por lo menos, 58 vacunas en diferentes fases de desarrollo y, de ellas, 17 estaban en ensayos clínicos. En la revisión de Simon Draper y sus colegas, el número de vacunas en ensayo clínico ha subido hasta 24 en 2018.

Las vacunas se busca que actúen, como decía, contra diferentes fases del ciclo vital. En primer lugar, debe actuar sobre los esporozoitos, la fase que entra en la sangre con la picadura del mosquito. Los esporozoitos entran en las células del hígado o hepatocitos y se reproducen. Después, en la fase merozoito, invaden los glóbulos rojos o hemocitos en la sangre y se siguen dividiendo. Cuando se reproducen tanto que destruyen los glóbulos rojos y se liberan en la sangre provocan los accesos de fiebre típicos de la malaria. Por lo tanto, se buscan vacunas contra los esporozoitos, cuando entran en la sangre por la picadura, y contra los hepatocitos infectados para que no liberen más merozoitos, en la sangre que puedan invadir los glóbulos rojos. Cuando el parásito está en los glóbulos rojos, la vacuna no bloquea la infección pero consigue atenuar su número y bajar la severidad de la enfermedad.

En esta fase el parásito libera gametos, masculinos y femeninos, pues está en la fase sexual del ciclo. Otro objetivo es evitar que libere estos gametos que son los que, en nuevas picaduras, vuelven a los mosquitos y extenderán la enfermedad en la población.

En resumen, se buscan vacunas contra los esporozoitos, los merozoitos en el hígado y los gametocitos. Y, más en detalle, para los esporozoitos está en bloquear la entrada o el crecimiento en las células del hígado. En los merozoitos se intenta bajar la severidad de la enfermedad, disminuir la división en las células del hígado y evitar la salida a la sangre y la entrada en los glóbulos rojos. Y, en los gametocitos, se buscan anticuerpos que alteren el desarrollo en el tubo digestivo del mosquito donde se alojan.

Otro objetivo, muy actual, es conseguir inactivar al parásito en el propio mosquito. Los gametos llegan al tubo digestivo del insecto, se une y dan lugar a los esporozoitos que se almacenan en las glándulas salivares e irán a otro enfermo con la picadura. Así comienza de nuevo el ciclo del plasmodio. Ahora se busca una vacuna que impida la formación de esporozoitos o los atenúe en el mosquito. Conseguirá evitar que la enfermedad se propague por las picaduras de los insectos.

Ruth Nussenzweig

En 1967, Ruth Nussenzweig publicó que habían logrado una inmunización parcial en roedores con la inyección de plasmodios debilitados obtenidos de mosquitos irradiados con rayos X. El método es laborioso pues, para conseguir los esporozoitos tenía que irradiar los mosquitos y después, hacer la disección y extraer las glándulas salivares donde se acumulan los plasmodios. Fue la primera investigación que trató mosquitos para conseguir esporozoitos debilitados.

Entre los intentos anteriores al estudio de Nussenzweig destaca el publicado en 1942, en plena Guerra Mundial y llegado desde la India, cuando la malaria era el principal problema médico de las tropas aliadas en Asia. Paul Russell y Badri Nath Mohan, del Instituto Pasteur del Sur de la India en Coonoor, utilizaron esporozoitos atenuados para una vacuna que impedía la llegada del parásito a los glóbulos rojos. La ensayaron en aves, como malaria aviar, y en gallinas. Consiguieron una disminución de la mortalidad del 21%. Preparaban los esporozoitos atenuados exponiendo a rayos ultravioleta las glándulas salivares de mosquitos infectados. Allí se encuentran los esporozoitos que se transmiten con la picadura. Disolvían las glándulas irradiadas en suero y lo inyectaban a las gallinas. Para los historiadores de la lucha contra la malaria es la primera publicación con un método con el que se sigue trabajando en la actualidad.

El hallazgo de Ruth Nussenzweig sirvió al grupo de David Clyde, de la Universidad de Maryland, para conseguir, en 1975, una cierta inmunización contra la malaria. Expuso a los voluntarios a la picadura de insectos irradiados y consiguió activar su sistema inmune contra el plasmodio, pero solo duró tres meses para falciparum y seis meses para vivax.

Fue también en los setenta cuando Richard Carter y David Chen, de los Institutos Nacionales de la Salud en Bethesda, ensayaron una nueva vacuna para la malaria en aves que, en un doble paso por el mosquito y el pollo, conseguía una efectividad interesante. Inyectaban a los pollos con sangre que llevaba Plasmodium gallinaceum irradiado con rayos X y tratado con formol. Cuando los mosquitos picaban a estos pollos y se alimentaban con su sangre, absorbían los plasmodios irradiados. En esos pollos, el número de parásitos en su tubo digestivo eran un 95%-98% menor que en los pollos control. La caída llegaba al 99% si se utilizaban gametos del plasmodio irradiados.

Años más tarde, entre 1989 y 1999, el grupo de Stephen Hoffman, del Centro de Investigación Médica de la Armada de Estados Unidos, ensayó una vacuna con picaduras de insectos irradiados con rayos gamma procedentes de cobalto o cesio radioactivos. Consiguieron, con once voluntarios, atenuar la enfermedad. Los esporozoitos del plasmodio entraban en las células del hígado pero no se reproducían y no llegaban a los glóbulos rojos. La protección, con nuevas dosis, duraba en algunos voluntarios hasta las 42 semanas.

Años antes, en 1980, el grupo de Nussenzweig había conseguido identificar una de las proteínas que recubre la superficie del plasmodio. Con este hallazgo se inició una línea de investigación todavía muy actual. Estas proteínas de la superficie del plasmodio, aisladas, pueden provocar una respuesta inmune en el enfermo y ser la base para una vacuna eficaz. Como siempre, son la eficacia de la vacuna y su duración condiciones esenciales para conseguir que sea útil. Sin embargo, el ciclo vital del plasmodio implica que estas proteínas de la superficie cambian en cada fase y, por ello, solo se pueden conseguir, por ahora, vacunas contra una fase concreta y no contra el ciclo completo.

Pedro Alonso, Director del Programa Mundial de Malaria de la OMS. Foto: Hospital Clínic / ISGlobal

Estas proteínas de superficie son la base de una de las vacunas más desarrolladas en este momento, la llamada RTS,S, desarrollada por el grupo de Pedro Alonso, del Centro de Salud Internacional del Hospital Clínic de Barcelona y fundador del Centro de Investigación en Salud de Manhiça, en Mozambique. Está dirigida contra la especie Plasmodium falciparum, la más extendida y letal de las especies del parásito de la malaria. Utiliza, para activar el sistema inmune, dos proteínas de la superficie del plasmodio llamadas RTS y S, y de ahí el nombre de la vacuna. Son de la fase anterior a la entrada de los esporozoitos en las células del hígado y los anticuerpos también pueden destruir los hepatocitos infectados.

Desde 2010, con el nombre comercial de Mosquirix y desarrollada con financiación de la empresa farmacéutica GlaxoSmithKline y de la Fundación Bill y Melinda Gates, la vacuna está en ensayos clínicos muy adelantados. Recibió la aprobación de la Agencia Europea de Medicamentos el 24 de julio de 2015.

La fase clínica II se ensayó en 2022 niños, en Mozambique y en el año 2004, con una reducción del 58% de niños enfermos con malaria severa, con el 77% en menores de dos años y, en general, del 30%. Ahora se está probando en un ensayo poblacional en varios países africanos con 15460 niños de 5 a 17 meses de edad. Los países son Burkina Faso, Ghana, Gabón, Kenia, Tanzania, Malawi y Mozambique. Toman tres dosis de la vacuna, con un mes de intervalo entre dosis, y un refuerzo a los 18 meses. La eficacia es del 55.8% en 2011 y del 31.3% en 2012. La conclusión final es que la eficacia es del 31% en niños de 6 a 12 meses. La duración de la inmunidad está por los 40 meses. Con parecidos métodos y objetivos se está ensayando una vacuna contra la especie Plasmodium vivax.

Otra vacuna en ensayos clínicos es la PfSPZ, de la compañía Sanaria, que utiliza esporozoitos atenuados de falciparum para provocar la inmunidad del vacunado. Se ha ensayado en 2016 con 33 adultos voluntarios, todos hombres de 18 a 35 años, en la isla de Bioko, en Guinea Ecuatorial. Reciben tres dosis de la vacuna o de un placebo con intervalos de ocho semanas. La aparición de anticuerpos contra falciparum se detecta en el 70% de los voluntarios. Ahora se está ensayando en 135 voluntarios con edades de 6 meses a 65 años.

Es una vacuna segura y bien tolerada, pero los investigadores buscan conseguir una respuesta inmune más fuerte contra falciparum, quizá con más dosis.

También es conocida y tema de muchos debates científicos y en los medios la vacuna que desarrolló el investigador colombiano Manuel Elkin Patarroyo en los años noventa. Utilizó una proteína de pequeño tamaño y sintética similar a las que recubren el plasmodio. La vacuna se llama SPf66 y se ensayó en los noventa en Sudamérica y África. Tuvo una eficacia del 26% en Sudamérica y prácticamente nula en los ensayos africanos. El debate sobre esta vacuna es intenso pues los datos de efectividad, según el ensayo de que se trate, llegan hasta el 82% con falciparum y el 60% con vivax o caen al 26% como ya he mencionado.

Un enfoque diferente y original es el de Rhoel Dinglasan y sus colegas, de la Universidad Johns Hopkins, que pretende inmunizar al mosquito para evitar que el plasmodio complete su ciclo vital. El parásito utiliza una enzima concreta para unirse a la pared del tubo digestivo del insecto y continuar su desarrolla. Dinglasan aisló el enzima y provocó inmunidad ante él de manera que el plasmodio, al no poder utilizar el enzima, no completó su ciclo. Consiguió una eficacia del 100% para falciparum y del 98% para vivax. Sin embargo, el método está en sus primeros pasos de investigación y pruebas. El mismo grupo ha encontrado un metabolito aislado de líquenes que también bloquea la maduración del plasmodio en el mosquito.

Referencias:

Alonso, P.L. et al. 2004. Efficacy of the RTS,S/ASO2 vaccine against Plasmodium falciparum infection and disease in Young African children: randomised controlled trial. Lancet 364: 1411-1420.

Amador, R. et al. 1992. Safety and immunogenicity of the synthetic malaria vaccine SPf66 in a large field trial. Journal of Infectious Diseases 166: 139-144.

Amador, R. et al. 1992. The first field trials of the chemically synthesized malaria vaccine SPf66: safety, immunogenicity and protectivity. Vaccine 10: 179-184.

Ballou, W.R. & C.P. Cahill. 2007. Two decades of commitment to malaria vaccine development: GlaxoSmithKline Biologicals. American Journal of Tropical Medicine and Hygiene 77 Suppl 6: 289-295.

Carter, R. & D.H. Chen. 1976. Malaria transmission blocked by immunisation with gametes of the malaria parasite. Nature 263: 57-62.

Clyde, D.F. et al. 1975. Immunization of man against falciparum and vivax malaria by use of attenuated sporozoites. American Journal of Tropical Medicine and Hygiene 24: 397-401.

Draper, S.J. et al. 2018. Malaria vaccines: Recent advances and new horizons. Cell Host & Microbe 24, July 11.

Hoffman, S.L. et al. 2002. Protection of humans against malaria by immunization with radiation-attenuated Plasmodium falciparum sporozoites. Journal of Infectious Diseases 185: 1155-1164.

Nussenzweig, R.S. et al. 1967. Protective immunity produced by the injection of X-irradiated sporozoites of Plasmodium berghei. Nature 216: 160-162.

Olotu, A. et al. 2018. Advancing global health through development and clinical trials partnerships: A randomized placebo-controlled, doublé-blind assessment of safety, tolerability, and immunogenicity of PfSPZ vaccine for malaria in healthy Equatoguinean men. American Journal of Tropical Medicine and Hygiene 98: 308-318.

Pastrana-Mena, R. et al. 2016. A malaria transmission-blocking (+)-usnic acid derivative prevents Plasmodium zygote-to-ookinete maturation in the mosquito midgut. ACS Chemical Biology 11: 3461-3472.

Russell, P.F. & B.N. Mohan. 1942. 1942. The immunization of fowls against mosquito-borne Plasmodium gallinaceum by injection of serum and of inactivated homologous sperozoites. Journal of Experimental Medicine 76: 477-495.

Vaughan, A.M. & S.H.I. Kappe. 2017. Genetically attenuated malaria parasites as vaccines. Expert Review of Vaccines 16: 765-767.

Wikipedia. 2018. Malaria vaccine. 14 July.

Yoshida, N. et al. 1980. Hybridoma produces protective antibodies directed against the sporozoite stage of malaria parasite. Science 207: 71-73.

Sobre el autor: Eduardo Angulo es doctor en biología, profesor de biología celular de la UPV/EHU retirado y divulgador científico. Ha publicado varios libros y es autor de La biología estupenda.

El artículo Historias de la Malaria: La vacuna se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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Las pruebas de la educación es un evento que en su tercera edición tuvo lugar por primera vez en Donostia-San Sebastián, el pasado 9 de noviembre, en el Centro Carlos Santamaría de la UPV/EHU, organizado por el Consejo Escolar de Euskadi, con la colaboración de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU.

Este evento tiene el objetivo de abordar distintos temas educativos desde la evidencia científica. Para ello, reúne a personas del ámbito educativo para que expliquen y debatan acerca de las pruebas (o su ausencia) que sustentan las afirmaciones, propuestas y prácticas educativas que están en boga o, en su caso, las pruebas que sustentan otras posibles prácticas. La dirección del evento corrió a cargo de la doctora en Psicología Marta Ferrero.

Partiendo de la premisa de que en educación existe una brecha profunda entre la investigación y la práctica educativa la propia Marta Ferrero nos habla sobre las causas que explican la prevalencia entre el profesorado en activo de ideas erróneas, así como de los métodos y herramientas ligados a ellas. Ferrero explica cómo algunas prácticas educativas basadas en la evidencia científica, bien utilizadas, pueden constituir una herramienta auténticamente útil para el profesorado.

Edición realizada por César Tomé López

El artículo Educación basada en la evidencia: retos y propuestas de mejora se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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3. Las pruebas de la educación 2018: El coloquio

La terapia génica es una técnica con un enorme potencial en pleno desarrollo. Consiste, básicamente, en introducir material genético en las células diana con tres fines posibles: crear una nueva función, restablecer una función defectuosa o interferir con una función ya existente. Una de las principales dificultades que presenta la técnica es, precisamente, “conseguir vehiculizar ese material genético nuevo a la célula. En el caso del sistema nervioso, esa transfección es especialmente complicada, debido, entre otros factores, a las barreras físicas que tiene el cerebro y que deben ser superadas”, explica Gustavo Puras, miembro del grupo NanoBioCel de la Facultad de Farmacia de la UPV/EHU y uno de los autores del estudio.

Este grupo de investigación se centró un tipo de vectores no-virales, los niosomas. “Son unas partículas lipídicas, unas vesículas, formadas por tres componentes: un lípido catiónico, que es el responsable de unirse al ADN que se quiere introducir en las células diana; otro lípido auxiliar, que favorece la entrada al núcleo a través de la membrana y evita la degradación del niosoma por parte de los lisosomas celulares, y un tensioactivo no iónico, que estabiliza la emulsión que se emplea en el manejo de estas partículas”, añade el doctor Puras.

El estudio tuvo diferentes fases. En la primera se seleccionaron los tres componentes con los que diseñar la propia partícula del niosoma. La parte novedosa de este estudio, tal como relata Puras, es que “utilizamos como lípido auxiliar el licopeno, el pigmento que da color a los tomates, que es conocido por tener propiedades para el tratamiento contra el cáncer y enfermedades cardiovasculares, pero no se había estudiado su posible rol en terapia génica”. Después, unieron al niosoma un plásmido, un gen, que en su caso fue el gen de la proteína verde fluorescente. “No es un plásmido terapéutico, pero nos sirvió para saber si las células eran transfectadas o no, porque en caso afirmativo emitirían fluorescencia verde”.

Una vez conseguido el complejo niosoma-plásmido, y realizada la caracterización físico-química, hicieron pruebas in vitro con modelos de células neuronales para ver la tasa de transfección, es decir, el porcentaje de células verdes fluorescentes conseguido, y la viabilidad de estas células transfectadas. “Lo que vimos fue que la incorporación del licopeno a la formulación mejoró la transfección de estas neuronas”.

En una última fase, “la más interesante”, realizaron pruebas in vivo inyectando los niosomas en el encéfalo de ratas. Lo que pudieron ver fue que las principales células que se transfectaron “no fueron neuronas, sino células gliales y células de las paredes de los vasos sanguíneos. No son neuronas, pero también son importantes, y se dividen más; por eso las hemos conseguido transfectar en mayor proporción”.

El investigador se muestra “muy satisfecho” con los resultados obtenidos: “Lo que buscábamos era conseguir transfectar células del sistema nervioso central, y lo hemos conseguido. En un paso posterior, el gen que transfectemos no será el de la proteína verde fluorescente, sino alguna proteína que produce agentes bioactivos, o agentes que favorezcan la revascularización. Las células que resultaron transfectadas en mayor medida, las células gliales, son muy abundantes en el sistema nervioso central, y juegan un papel crucial en el correcto desarrollo y funcionamiento del tejido nervioso. Además, su alteración está asociada con numerosos desórdenes neurológicos, como los derrames cerebrales, la esclerosis múltiple, la epilepsia, el alzhéimer y el párkinson”.

Referencia:

Mohamed Mashala, Noha Attia, Cristina Soto-Sánchez, Gema Martínez-Navarrete, Eduardo Fernández, Gustavo Puras, José Luis Pedraz (2018) Non-viral vectors based on cationic niosomes as efficient gene delivery vehicles to central nervous system cells into the brain International Journal of Pharmaceutics doi: 10.1016/j.ijpharm.2018.09.038

Edición realizada por César Tomé López a partir de materiales suministrados por UPV/EHU Komunikazioa

El artículo Niosomas como vectores de terapia génica del sistema nervioso central se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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Según el último informe de consumo de alimentación en España, consumimos un 0,3% menos de productos lácteos que el año pasado. La tendencia de consumo de lácteos no ha dejado de caer lentamente en los últimos años. Pero en este escenario poco prometedor, sí hay un tipo de lácteos cuyo consumo no ha dejado de crecer: es el de la leche sin lactosa. La venta de leche sin lactosa aumentó un 27%, frente a la bajada de un 4% de la leche entera, semi y desnatada.

Según Adilac (la Asociación de Intolerantes a la Lactosa) el 30% de la población española padece intolerancia a la lactosa. Sin embargo, los datos de consumo de leche sin lactosa son comparativamente mayores, con lo que sabemos que muchas personas sin un diagnóstico de intolerancia a la lactosa han optado por consumirla.

La leche sin lactosa se publicita como más ligera y digestiva. Es habitual que la publicidad no mencione que estos productos van destinados a personas con intolerancia a la lactosa, sino que parecen destinados a cualquier consumidor, como si esta fuese más ligera y más digestiva para cualquier persona. No es así.

• A la leche sin lactosa no se le quita la lactosa

La lactosa es un azúcar naturalmente presente en la leche. Representa el 5% de su composición. Desempeña un importante papel en la absorción del calcio.

Nuestro organismo produce de forma natural una enzima llamada lactasa que lo que hace es dividir a la lactosa en azúcares simples que pueden ser absorbidos por el intestino. Las personas con intolerancia a la lactosa no producen enzima lactasa o la producen en muy baja cantidad, por lo que no son capaces de absorber este azúcar. La lactosa llega intacta al intestino grueso, donde las bacterias del colon la fermentan produciendo gran cantidad de gases, entre ellos hidrógeno. El resultado es hinchazón, diarrea y el malestar propio que sienten las personas con intolerancia a la lactosa.

Lo que hace la industria para producir leche sin lactosa es servirse del sistema natural de digestión de la lactosa. Para ello emplean unas levaduras que producen enzima lactasa. Esta lactasa es la que añaden a la leche para producir la denominada leche sin lactosa. Por ese motivo la leche sin lactosa realmente es leche con lactasa. Es leche a la que le añaden la enzima que precisamente las personas con intolerancia no producen o producen insuficientemente.

• La leche sin lactosa no es más ligera

Como a la leche sin lactosa no se le quita nada, en todo caso se le añade, no contiene ni menos calorías, ni menos carbohidratos, ni menos grasas. Tiene exactamente los mismos valores nutricionales que la leche normal.

Esta leche semidesnatada tiene los mismos valores nutricionales que su correspondiente sin lactosa.

La legislación no permite llamar ligero a cualquier alimento. Para denominar a un alimento ligero o light, debe contener al menos una reducción del 30% de alguno de sus componentes en comparación con el producto original, en este caso en comparación con la leche normal. Como esto no es así, en las leches sin lactosa no aparecen las palabras ligero o light, porque sería ilegal, sino fórmulas propagandísticas que tratan de sugerir que el producto es más ligero, aunque no sea cierto: mañanas ligeras, siéntete libre, etc.

• La leche sin lactosa no es más digestiva

La leche sin lactosa solo es más digestiva para las personas con intolerancia a la lactosa. Para las personas tolerantes a la lactosa, cuyo organismo produce enzima lactasa con normalidad, consumir leche sin lactosa es contraproducente.

La razón es que cuando consumimos leche sin lactosa, realmente estamos consumiendo leche con enzima lactasa. Entonces el organismo de un tolerante a la lactosa no tiene que sintetizar enzima lactasa para digerirla, porque ya viene añadida artificialmente en el alimento. Si consume habitualmente alimentos que incorporan enzima lactasa, su organismo irá dejando de sintetizarla por sí mismo, precisamente porque no la necesita. La consecuencia de un consumo prolongado de productos sin lactosa, o con enzima lactasa, es que podemos provocarnos una intolerancia a la lactosa progresiva.

• La lactosa favorece la absorción del calcio

Una de las razones por las que la leche sin lactosa se produce añadiendo lactasa es que extraer la lactosa de la leche es un proceso muy costoso y además perderíamos uno de los nutrientes más interesantes de la leche. Otro de los motivos es que la lactosa favorece la absorción del calcio.

Aunque el mecanismo por el cual la lactosa favorece la absorción del calcio no está perfectamente descrito, sabemos que es así. Por eso la tendencia de algunas personas a consumir productos sin lactosa, pese a no ser intolerantes, les perjudica.

Curiosamente, esto no ocurre con la leche. Los tolerantes a la lactosa no presentan diferencias significativas en cuanto a la absorción del calcio tanto si consumen leche normal o leche sin lactosa (con lactasa). Pero en el caso de los intolerantes a la lactosa, la absorción del calcio sí se ve afectada. Cuando los intolerantes a la lactosa consumen pequeñas cantidades de lactosa, esta actúa como un prebiótico, estimulando el crecimiento de lactobacilos y bifidobacterias que favorecen la absorción del calcio.

Desgraciadamente no todos los intolerantes a la lactosa pueden permitirse ingerir pequeñas cantidades de alimentos con lactosa. El umbral de lactosa que toleran estas personas es muy diferente entre unas y otras. Hay personas con intolerancia que pueden consumir 6 g de lactosa (equivalente a un vaso de leche), otras ni eso, y otras que pueden llegar a consumir 12 g sin presentar síntomas de malestar. Por eso hay personas que pueden consumir derivados lácteos, aunque estos contengan pequeños restos de lactosa, como algunos yogures industriales y quesos. Y otras, para consumir por ejemplo yogures, tienen que fabricarlos en casa o comprar los que contienen enzima lactasa.

• La intolerancia a la lactosa necesita de un diagnóstico médico

La intolerancia a la lactosa no te la diagnosticas tú en tu casa, sino que ha de diagnosticarla un médico. Si dejamos de consumir lactosa porque creemos que somos intolerantes podríamos estar enmascarando otros problemas digestivos que nada tienen que ver con la lactosa, como son la enfermedad celíaca o la enfermedad de Crohn.

En la prueba diagnóstica más habitual, al paciente se le suministran entre 25 y 50 g de lactosa disueltos en agua. A intervalos de tiempo de 15 minutos se le hace soplar en un instrumento que recoge y mide los gases, entre ellos el hidrógeno. Como la lactosa no digerida llega al intestino grueso, las bacterias presentes allí lo utilizan como alimento generando hidrógeno como producto de desecho. El hidrógeno es absorbido por el caudal de la sangre y es expedido por la respiración. Por eso la medida del hidrógeno de la respiración nos dice si hay o no intolerancia a la lactosa. Si la cantidad de hidrógeno sobrepasa los 20 ppm seremos diagnosticados como intolerantes a la lactosa.

• Algunos datos clave

-Los intolerantes a la lactosa sufren un déficit en la síntesis de enzima lactasa.

-No confundir intolerancia a la lactosa con alergia a la leche. La alergia a la leche es alergia a la proteína, no a la lactosa, que es un azúcar. Los alérgicos no deben consumir ni tocar lácteos, independientemente de su contenido en lactosa.

-A la leche sin lactosa no se le quita la lactosa, sino que se le añade enzima lactasa.

-La leche sin lactosa tiene los mismos valores nutricionales que la normal, así que no es más ligera.

-La leche sin lactosa solo es más digestiva para las personas con intolerancia.

-Las personas tolerantes que consumen habitualmente productos sin lactosa pueden provocarse una intolerancia progresiva, por eso se desaconseja su consumo.

-Los intolerantes a la lactosa que pueden consumir pequeñas cantidades de lactosa, absorben mejor el calcio cuando consumen alimentos con lactosa.

-La intolerancia a la lactosa no te la diagnosticas en casa, sino mediante una sencilla prueba médica.

-La leche sin lactosa es un 30% más cara que la normal.

Sobre la autora: Déborah García Bello es química y divulgadora científica

El artículo Leche sin lactosa: ni más ligera, ni más digestiva se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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2. Estroncio en la leche
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En la anterior entrada de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica, Y tú, ¿cómo cuentas con los dedos? (1), inicié una pequeña serie de entradas sobre la cuestión de contar con los dedos de las manos. En dicha entrada abordé el tema de cómo contamos las personas, en la actualidad, con los dedos, y hoy vamos a continuar analizando esta cuestión.

Anuncio de la organización para la conservación de la naturaleza WWF – World Wildlife Fund, que utiliza la obra del artista Guido Daniele, cuyo arte se basa en la pintura del cuerpo, o alguna parte del mismo, como las manos. Imagen de la página del artista Guido Daniele

En la primera parte de esa primera entrada de la serie, realicé una pequeña encuesta a personas de mi entorno laboral, en la Universidad del País Vasco / Euskal Herriko Unibertsitatea, y de mi entorno de amistades. Descubrí que esencialmente contábamos de dos formas distintas. La técnica más habitual era partiendo de las manos cerradas y desplegando los dedos de las manos en un orden natural, con las variantes de empezar por la mano derecha o izquierda, y también empezando con el meñique o el pulgar, como hacía yo mismo, que era lo más habitual (véase la siguiente imagen).

Forma en la que yo cuento, del 1 al 10, con los dedos de las manos. Empiezo por la izquierda, extendiendo los dedos desde el pulgar al meñique, para contar del uno al cinco, y luego paso a la derecha, mientras mantengo la izquierda abierta para mantener el valor del cinco, extendiendo de nuevo los dedos del pulgar al meñique, para los números del seis al diez

La otra forma de contar más usual entre las personas entrevistadas era tocando en orden los dedos de cada mano con otro dedo, que podía ser el índice de la otra mano o el pulgar de la misma mano. Entre las personas entrevistadas que se tocaban los dedos con el dedo índice de la otra mano, las diestras solían empezar con el índice derecho tocando los dedos de la mano izquierda, aunque con la variante de empezar por el meñique o el pulgar, y luego cambiaban las manos, es decir, con el índice izquierdo tocaban los dedos de la mano derecha, como en la siguiente imagen. Y los zurdos al revés.

Esta es la manera en la que cuenta mi compañera Marta Macho, del departamento de matemáticas de la Facultad de Ciencia y Tecnología (UPV/EHU). Con el índice de la mano derecha va indicando, mientras cuenta, los dedos de la mano izquierda, desde el meñique al pulgar, para contar del uno al cinco, y luego pasa a la derecha, contando con el índice de la mano izquierda, del meñique al pulgar, para los números del seis al diez

Para la segunda parte de esa primera entrada Y tú, ¿cómo cuentas con los dedos? (1) salí a la calle y empecé a preguntar a personas de mi barrio (vivo en el barrio bilbaíno de Bilbao La Vieja, donde viven personas de todas las partes del mundo) cómo contaban ellas con los dedos de las manos. A pesar de que vivimos en un mundo cada vez más global, donde se van uniformando las manifestaciones culturales, aún podemos apreciar las diferencias que existen entre las formas de contar en las diferentes partes del mundo, en las diferentes culturas.

Descubrí como algunas personas de diferentes países del mundo empiezan a contar con las manos abiertas y cerrando los dedos de cada mano. Entre ellas dos hombres de Nigeria, que empezaron por el dedo pulgar hacia el índice de la mano derecha, para contar del 1 al 5, y luego la izquierda, del 6 al 10. O un joven de Senegal, que utilizaba la misma técnica, pero empezando por la mano izquierda y el dedo meñique.

Pero esta forma de contar no es exclusiva de África. Para escribir esta segunda parte de la serie Y tú, ¿cómo cuentas con los dedos? he seguido preguntando a personas de otros países, entre ellas, algunas investigadoras e investigadores del Basque Center for Applied Mathematics (BCAM), es decir, el centro de investigación en matemática aplicada creado por el Gobierno Vasco en 2008, que está en Bilbao.

Entre las personas que entrevisté dentro de BCAM estaba Oleksii Sliusarenko, de Ucrania, que cuenta contrayendo los dedos, meñique (1), anular (2), corazón (3), índice (4) y pulgar (5), de la mano izquierda y luego, mientras mantiene la mano izquierda cerrada, continúa contrayendo los dedos de la derecha, para contar del 6 al 10 (como se muestra en la imagen). Según he leído esta es la forma en la que cuentan los países eslavos del este, como Bielorrusia, Rusia, Estonia, Letonia, Lituania o Moldavia.

Esta es la manera en la que cuenta el matemático ucraniano Oleksii Sliusarenko, del Basque Center for Applied Mathematics (BCAM). Empieza con la mano abierta, la izquierda, y va cerrando los dedos –en este caso, ayudado con el índice de la mano derecha, aunque podría ser sin utilizar el índice- empezando por el meñique (1), luego, anular (2), corazón (3), índice (4) y pulgar (5), para después cambiar de mano, del 6 al 10

En el libro Number words and number symbols de Karl Menninger se cuenta una historia que aparece en la novela The wind cannot read (1946) del escritor británico Richard Mason (1919-1997), que fue publicada en España como El viento no sabe leer (1955), y que está inspirada en las experiencias personales del escritor en tiempos de guerra, en concreto, en 1944, en la India, mientras aprendía japonés.

Durante la segunda guerra mundial, en la India, una joven india tiene que presentar a una de sus amigas, Sabby, a un hombre inglés que ha ido a su casa y que lleva tiempo viviendo en la India. El problema está en que su amiga es japonesa y en aquel momento, durante la segunda guerra mundial, si esto se sabe su amiga será arrestada. No olvidemos que India y Gran Bretaña eran países Aliados, mientras que Japón era un país de las Potencias del Eje, es decir, era un país aliado de la Alemania nazi. Por este motivo, la joven india presenta a su amiga como una mujer china, Miss Wei. El hombre inglés no acaba de creerse que esa mujer sea china, por lo que, para sorpresa de las personas presentes, le pide que cuente con los dedos de las manos, que cuente hasta cinco. La mujer, sin saber si es una broma o si el hombre está loco, se pone a contar con los dedos de su mano, uno, dos, tres, cuatro y cinco. Al terminar el inglés exclama “¡Ahí lo tenéis! ¿Habéis visto eso? ¿Habéis visto como lo ha hecho? Ella ha empezado con su mano abierta y ha ido doblando sus dedos uno a uno. ¿Habéis visto alguna vez contar así a una persona china? ¡Nunca! Los chinos, cuentan como los británicos. Empiezan con el puño cerrado y van abriendo los dedos de uno en uno. ¡Ella es japonesa!”

Portada del libro El viento no sabe leer (1955), de Richard Mason, y el cartel de la película homónima, realizada en 1958 y protagonizada por Dirk Bogarde y Yoko Tani. Imágenes de la web www.todocoleccion.net

El investigador del Basque Center for Applied Mathematics, Dae-Jin Lee, que dirige la línea de investigación de BCAM de Estadística Aplicada, y cuya familia es de Corea, me ha contado que él aprendió a contar de pequeño de la siguiente forma. Cuenta del 1 al 5 por el método de “contraer los dedos de la mano”. Empieza con la mano izquierda abierta y va doblando los dedos, primero el pulgar (1), índice (2), corazón (3), anular (4) y finalmente, el meñique (5). Con la mano en esta posición, cerrada, puede continuar contando, levantando los dedos, desde el meñique (6), hasta el pulgar (10), como muestra la siguiente imagen. Es decir, con una sola mano cuenta del 1 al 10.

Esta es también la forma en la que cuentan los japoneses, luego la forma en la que contaba la mujer japonesa, Sabby, de la novela de Richard Mason.

Esta es la manera en la que cuenta el matemático, de origen coreano, Dae-Jin Lee, del Basque Center for Applied Mathematics (BCAM). Empieza con la mano abierta, la izquierda, y va cerrando los dedos empezando por el pulgar (1), luego índice (2), corazón (3), anular (4) y finalmente, el meñique (5), como se ve en la imagen, después, con esa misma mano cerrada, empieza a desplegar los dedos para continuar contando, desde el meñique (6), hasta el pulgar (10)

Dae-Jin me ha contado que la otra mano, la derecha, la utiliza, cuando es necesario, para las decenas. Para contar las decenas, curiosamente, él despliega los dedos de la mano derecha, empezando por el pulgar para una decena, y seguiría el índice para dos decenas, esto es, veinte, y así continuaría.

Este matemático de origen coreano me ha contado también que su madre usa otro sistema, el Chisanbop, creado en los años 1940 en Corea, que permite contar con las dos manos hasta 99 y realizar operaciones aritméticas básicas. Volveremos más adelante con este método.

Ahora, veamos ahora cómo cuentan las personas chinas, y veamos si tenía sentido la distinción de la novela de Richard Mason. Del uno al cinco se parece al método que parece que utilizan, o utilizaban mayoritariamente, los británicos. Al parecer, los británicos y norteamericanos, tienden a contar de la siguiente forma: despliegan los dedos, empezando por el índice (1), hasta el meñique (4) y luego el pulgar (5), de una mano, para después pasar a la otra. Este aparece en la película de Quentin Tarantino, Malditos bastardos (2009), en la que un espía británico que se hace pasar por oficial alemán es descubierto ya que al pedir tres cervezas en un bar lo hace mostrando al camarero los dedos índice, corazón y anular, al estilo británico y estadounidense, mientras que para los alemanes, al igual que los franceses, sería más normal que mostrasen el dedo pulgar, índice y anular.

Momento de la película Malditos bastardos (2009), de Quentin Tarantino, en la que el espía británico, vestido de oficial alemán, pide tres cervezas y un verdadero oficial alemán, con el que habla, se da cuenta de que ha mostrado los dedos a un estilo que no es el alemán, de hecho, es el británico

Aquí tenéis la escena en el bar de la película Malditos bastardos, de Quentin Tarantino, que incluye el error en la forma de indicar tres cervezas y el posterior masacre en el bar:

Y la explicación del error en la misma película:

Seguramente eso sería lo normal en esos años, o incluso mucho antes, pero hoy en día pasará algo parecido a lo que mostramos en la primera entrega de esta serie, que hay una tendencia más marcada hacia un método, el que ha sido el predominante en esa zona geográfica, pero que también se dan otros métodos. Por una parte, vivimos en un mundo cada vez más global y con un contacto cada vez mayor entre culturas y, además, quizás el uso de los dedos para contar, aunque sigue siendo normal y habitual, no lo es tanto como hace años.

La forma de contar de Estados Unidos, la misma que la británica, la vemos también utilizada, de una forma un poco macabra, en el western de humor negro La balada de Buster Scruggs (2018), la última película de los hermanos Joel y Ethan Coen (gracias a “Masgël” por indicármelo, en los comentarios de la primera entrada de la serie):

El método de contar cerrando los dedos de cada mano, desde el pulgar al índice, como yo mismo hago y muchas de las personas de mi entorno, y que además hemos contado que es el método habitual de alemanes y franceses, me lo he encontrado en bastantes de los matemáticos y matemáticas entrevistadas en BCAM. Así cuentan también Argyrios Petras, de Grecia, Gabriela Capo (de soltera, Cirtala), de Rumanía, Marco Capo, de Venezuela, y Julia Kross, de Alemania.

Pero volvamos al estilo de contar de las personas de china. Una de mis estudiantes de la asignatura de topología, en el grado de matemáticas de la Universidad del País Vasco, Xin Su, cuya familia es de origen chino, me ha explicado cómo cuenta ella, y su familia, del 1 al 10. La forma de contar de uno a cinco es bastante similar a la británica, como se decía en la novela El viento no sabe leer, se van desplegando los dedos, empezando por el índice, aunque para el número 3 cambian los dedos desplegados, en lugar de ser índice, corazón y anular, son meñique, anular y corazón, como se muestra en la siguiente imagen. El método para contar de seis a diez, que se sigue utilizando la misma mano, es más particular, trata de imitar los caracteres chinos para esos números, que vemos también más adelante.

Esta es la manera en la que cuenta mi estudiante Xin Su, de origen chino, de la asignatura de topología del grado de matemáticas de la Universidad del País Vasco. Utiliza una única mano, la derecha en este caso, para contar del uno al diez. Va desplegando los dedos, desde el índice, para contar hasta cinco, mientras que del seis al 10 son gestos que imitan a los caracteres chinos para esos números Caracteres chinos para los números del cero al diez

Teniendo en cuenta que China es muy grande y con una gran diversidad cultural, nos podemos encontrar algunas variaciones al anterior método de contar con los dedos de las manos, en función de la parte de China en la que estemos. Por ejemplo, he visto como en algunos lugares representan el 10 realizando una cruz con los dedos índices de ambas manos o el 7 juntando todos los dedos.

La pintura realizada con los dedos de las manos es una técnica utilizada en China desde hace siglos. Aquí mostramos dos obras del artista chino Gao Qipei (1660-1734), que pintaba sus obras con los dedos de sus manos e incluso utilizando las uñas de los mismos, Ciervo (1713), del Walters Art Museum de Baltimore (EE.UU.) y Pintura con los dedos de un águila y un pino, del Shangai Museum (fotografía de captmondo)

Otra de las personas con las que me entrevisté en el centro de investigación en matemática aplicada del País Vasco fue el matemático Sandeep Kumar, de Rajastán, al noroeste de la India. Sandeep me habló de que utilizaba dos formas distintas de contar con los dedos. Una de ellas es la que hemos mencionado aquí como la técnica británica, es decir, se empieza con la mano cerrada, en su caso la izquierda, y se van abriendo los dedos en este orden, índice (1), corazón (2), anular (3), meñique (4) y pulgar (5), y de forma idéntica se continúa contando con la otra mano, del 6 al 10.

Sandeep me comentó que existía la posibilidad de empezar por el meñique, pero eso no era muy frecuente ya que en la India el gesto de levantar el dedo meñique significa que necesitas ir al baño, incluso de forma más específica, que vas a mear. La verdad es que este gesto llamó mi atención y decidí buscar cual podría ser el origen del mismo. Al parecer, según el hinduismo cinco son los elementos fundamentales para la creación del universo, los pancha mahabhuta, el fuego (agni), el aire (vayu), el éter (akasha), la tierra (prithvi) y el agua (apas o yala), los cuales se relacionaban antiguamente con los cinco dedos de la mano, en este orden, pulgar, índice, corazón, anular y meñique. De la relación del meñique con el agua podría venir el mencionado gesto.

El segundo método que utilizaba el matemático indio para contar era utilizando las falanges de las dos manos. En total tenemos 14 falanges en cada mano, dos en el pulgar y tres en el resto de dedos. Se empieza contando por la falange inferior del dedo meñique y se continúa contando, de abajo hacia arriba en cada dedo, del 1 al 14. Y con las dos manos se puede contar hasta 28.

En el libro Historia universal de las cifras, de Georges Ifrah, cuenta que un chino, de la provincia china de Cantón, le habló de un uso práctico de esa forma de contar que le había visto a su madre. Para contar los días del ciclo menstrual, que de media son 28, la madre anudaba un cordel en cada una de las 28 falanges, de las dos manos, según iban pasando los días del ciclo y así saber cuándo volvería a tener la menstruación (en ese tiempo no había aplicaciones móviles que te fueran avisando).

Aunque, como me contó Sandeep, hay quienes cuentan 14 en cada mano y quienes, como él, cuentan hasta 15, como si el dedo pulgar tuviese también tres falanges.

Esta es la manera en la que cuenta el matemático indio Sandeep Kumar, del Basque Center for Applied Mathematics (BCAM). Cuenta las falanges de la mano, tres por cada dedo (incluido el pulgar, aunque realmente tenga dos falanges), empezando por la falange de abajo del meñique, de la mano izquierda, para el 1, segunda falange para el 2 y tercera para el 3, se continúa con las falanges del dedo anular, de nuevo abajo a arriba, para contar del 4 al 6, y así con los demás dedos, hasta 15 en esa mano, y de 16 a 30, en la otra mano, la derecha

En el libro de Georges Ifrah, que cita el texto Les anciens prócedés de calcul sur les doigts en Orient et en Occident de J. G. Lemoine, relaciona esta forma de contar con el calendario hindú, que es lunisolar, es decir, tiene en cuenta tanto las fases de la luna, como del sol. Cada ciclo lunar se corresponde aproximadamente con 29,5 días, que da lugar al concepto de mes lunar (más o menos, 30 días, en realidad, 30 “días lunares”, tithi). Cada mes lunar contiene dos quincenas o fases de la luna (paksha), de unos 15 días. La primera es la fase de crecimiento, que va desde la luna nueva a la luna llena, llamada Shukla Paksha, y la segunda la de decrecimiento, que va desde la luna llena a la nueva, que recibe varios nombres, como Krishna Paksha. Los doce meses lunares se corresponden con aproximadamente 354 días, por lo que, más o menos, cada tres años se introduce un mes extra, que suele ser una repetición de unos de los meses normales, para ajustarlo al calendario solar.

Según menciona Georges Ifrah, esta forma de contar, que es la que utiliza el matemático indio Sandeep con quien estuve charlando sobre esta cuestión, se utiliza en la India, pero también en la península de Indochina (Camboya, Vietnam, Laos, Birmania y Tailandia) y la China meridional. Curiosamente, el calendario chino también es lunisolar.

El tatuaje de henna es un arte de pintura corporal tradicional de algunos países como la India o Pakistán. Aquí vemos algunas manos tatuadas con henna. Fotografía de la página Ceramics and Pottery Arts and Resources

Esta misma manera de contar la utilizaba otro de los matemáticos de BCAM, Mostafa Shahriari, de Isfahan, en Irán. Aunque el origen de ambas formas es distinto. Como ya expliqué en la entrada anterior Y tú, ¿cómo cuentas con los dedos? (1), en relación a la forma en la que contaba la familia de mi compañero Abdelmalik Moujahid, que es de Marruecos, esta técnica de conteo está relacionada con el Islam y los 99 nombres de Alá.

Mujer arrodillada contando con sus dedos (1673), del pintor de miniaturas persa Mu`in Musavvir, nacido es Isfahan (Irán) hacia 1610-1615. Imagen del British Museum

Mostafa también me explicó que en ocasiones también utilizaba otra forma de contar. Una de las comentadas en la anterior entrada. Tocando con el dedo pulgar el resto de los dedos, primero de la mano derecha, de meñique (1) a índice (4), y luego la mano extendida (5). Y con el mismo gesto en la otra mano del 6 al 10.

Este matemático iraní me explicó que en Irán no era normal contar como lo hacíamos muchos de nosotros, con el puño cerrado y levantando los dedos, empezando por el pulgar, porque el pulgar levantado solo era un gesto ofensivo, que significa lo mismo que, para nosotros, levantar el dedo corazón, lo que conoce como “sacar o enseñar el dedo” o “hacer una peineta”.

Según Georges Ifrah, el origen de la base 60 que utilizaron algunos pueblos antiguos como los sumerios o los babilonios es una mezcla de dos bases, la base 5, o incluso la decimal (10), y la base 12, que es una base muy versátil, por tener varios divisores, 2, 3, 4 y 6. Las bases 5 y 10 son muy naturales, ya que están relacionadas con nuestro cuerpo. Cada mano tiene cinco dedos y las dos manos tienen en total 10 dedos. Pero, ¿cuál es el origen de la base duodecimal?

La hipótesis que defiende Ifrah es que estaría relacionada con la manera de contar utilizando las falanges de las manos, ya que precisamente en la zona de Mesopotamia (Irán e Iraq, entre otros países) se sigue utilizando la técnica de contar las falanges. Según Ifrah, con el dedo pulgar se contarían las falanges de los otros cuatro dedos, a tres falanges por dedo, en total, doce falanges. La mano derecha se utilizaría para contar del 1 al 12, y la izquierda para los múltiplos de 12, luego en total, se podría contar hasta 144. Es decir, un sistema de numeración en base 12.

El origen del sistema duodecimal, según la hipótesis del historiador de la ciencia Georges Ifrah, estaría en la forma de contar las falanges de los dedos, desde el meñique hasta el índice, apuntando con el pulgar de cada mano. Con la mano derecha se contaría del 1 al 12, y se utilizaría la izquierda para los múltiplos de 12. Así, tocando con el pulgar de la mano izquierda la segunda falange del dedo anular y con el de la derecha la segunda falange del dedo índice, como se muestra en la imagen, se indicaría el número 5 x 12 + 11 = 71

Vamos a terminar esta entrada explicando la manera de contar con los dedos de la madre del matemático de origen coreano del BCAM, Dae-Jin Lee, el chisanbop.

El chisanbop es un método para contar con los dedos inventado en Corea en la década de 1940. Sus inventores Sung Jin Pai y su hijo Hang Young Pai adaptaron la idea del ábaco coreano, que es un ábaco 1:4 igual que el soroban o ábaco japonés, a los dedos de la mano. La palabra chisanbop viene de las palabras coreanas chi “dedo” y sanpop “cálculo”.

Ábaco coreano o japonés, de tipo 1:4, es decir, en cada varilla hay 4 fichas en la parte de abajo y una en la de arriba, en el que se han marcado las varillas de las unidades y las decenas

Para el chisanbop cada una de las manos se corresponde con una de las varillas del ábaco coreano, la mano derecha para las unidades y la izquierda para las decenas, por lo que se pueden representar los números de una y dos cifras, es decir, del 0 hasta el 99.

Los dedos índice, corazón, anular y meñique de la mano derecha toman en valor 1 (serían las 4 fichas de abajo en la varilla de las unidades en el ábaco), mientras que el pulgar toma el valor 5 (sería la ficha de arriba de la varilla de las unidades). Con esta mano, al igual que con la primera varilla del ábaco, podemos representar cualquier número de una cifra, del 0 al 9. Se empieza con la mano abierta, con la palma hacia abajo, en el aire o justo encima de una mesa y se bajan ligeramente, o tocando la mesa, los dedos que se quieren utilizar. Los dedos de las unidades se empiezan a usar en orden del índice al meñique. Así, para indicar el 1 se baja el índice, para el 2 el índice y el corazón, o para el 8 sería el pulgar, el índice, el corazón y el anular.

Valores de los dedos de las manos, izquierda y derecha, en el chisanbop

Los dedos índice, corazón, anular y meñique de la mano izquierda toman en valor 10 y el pulgar toma el valor 50, por lo que con esta mano se representan las decenas. Por lo tanto, con las dos manos se pueden representar todos los números de una o dos cifras, del 0 al 99. Así, en la siguiente imagen se está marcando el valor 82 con los dedos.

Los dedos de las manos bajados están marcando, según el sistema del chisanbop, el número 82. La mano derecha (unidades) tiene bajados los dedos índice y corazón, 2, mientras que la mano izquierda (decenas) tiene bajados los dedos pulgar, índice, corazón y anular, 80

En la década de 1970 el chisanbop llegó a Estados Unidos y a raíz de su presencia en el Show de Johnny Carson llamó la atención del profesorado, la administración y los padres y madres, y se empezó a utilizar en algunos centros educativos.

Contando dedos, tinta sobre papel, del artista islandés Einar Örn Benediktsson. Imagen de la página del artista

Como punto final de esta entrada de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica me gustaría agradecer la colaboración de todas las personas a las que he entrevistado tanto para la entrada anterior Y tú, ¿cómo cuentas con los dedos? (1) , como para esta. ¡Muchísimas gracias!

Marta y María Magdalena (aprox. 1598), pintura del pintor italiano Caravaggio (1571-1610), en el que Marta está contando con los dedos. Obra perteneciente al Detroit Institute of Arts. Imagen de Wikimedia Commons

Bibliografía

1.- Levi Leonard Conant, Counting, The world of mathematics, volumen 1, James Newman (editor), Dover, 1956.

2.- Georges Ifrah, Historia universal de las cifras, Ensayo y pensamiento, Espasa, 2002 (quinta edición).

3.- Página web del artista Guido Daniele

4.- Página web del Basque Center for Applied Mathematics

5.- Karl Menninger, Number words and number symbols, Dover, 1969.

6.- J. G. Lemoine, Les anciens prócedés de calcul sur les doigts en Orient et en Occident, Revue des Études Islamiques 6, pp. 1 – 60, 1932.

7.- Página web del British Museum

8.- J. Dan Knifong, Grace M. Burton, Chisanbop: Just Another Kind of Finger Reckoning?, The Arithmetic Teacher 26, n. 7, pp. 14-17, 1979.

9.- Jay Greenwood, Critique on the Chisanbop Finger Calculation Method, The Arithmetic Teacher 26, n. 7, pp. 18-21, 1979.

10.- Página web del artista Einar Örn Benediktsson

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

El artículo Y tú, ¿cómo cuentas con los dedos? (2) se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

Entradas relacionadas:

1. Y tú, ¿cómo cuentas con los dedos? (1)
2. La morra, jugando a contar con los dedos
3. La insoportable levedad del TRES, o sobre la existencia de sistemas numéricos en base 3

Los precios de las localidades en los auditorios de música dependen de dos variables: la visión del escenario y el patrón de interferencia del sonido. En el Euskalduna las localidades más caras son las del patio, en la misma zona antinodal que el palco de honor.

Ya hemos visto el patrón de interferencia en pulsos de ondas. Vamos ahora a dar el siguiente paso considerando ondas periódicas.

Figura 1. Los círculos negros indican donde cresta se encuentra con cresta, los círculos en blanco donde se encuentra valle con valle y los círculos mitad negro/mitad en blanco donde una cresta se encuentra con un valle. Las líneas de máxima interferencia constructiva están etiquetadas como A0, A1, A2, etc. Las líneas etiquetados como N1, N2, etc. representan bandas a lo largo de las que existe la máxima interferencia destructiva.

Cuando se emiten dos ondas periódicas de igual amplitud en lugar de pulsos individuales, se produce una superposición en toda la superficie, como también se muestra en la Figura 1. A lo largo de la línea de puntos central de la figura, hay una amplitud de la perturbación doble. A lo largo de las líneas etiquetadas con N, la altura del agua permanece inalterada. Dependiendo de la longitud de onda y la distancia entre las fuentes, puede haber muchas líneas de interferencia constructiva y destructiva.

Figura 2

Ahora podemos interpretar el patrón de interferencia de la Figura 2 (que ya apareció al hablar de pulsos de ondas). Las bandas grises son áreas donde las ondas se cancelan entre sí en todo momento; se las llama líneas nodales. Estas bandas corresponden a las líneas etiquetadas como N en la Figura 1. Entre estas bandas hay otras bandas donde la cresta y el valle se suceden, donde las ondas se refuerzan. Estas se llaman líneas antinodales.

Este patrón de interferencia se establece mediante la superposición de ondas de dos fuentes. Para las ondas en el agua, el patrón de interferencia se puede ver directamente. Pero ya sean visibles o no, todas las ondas, incluidas las ondas de de los terremotos, las ondas del sonido o los rayos X, pueden establecer patrones de interferencia. Por ejemplo, supongamos que dos altavoces alimentados por el mismo reproductor funcionan a la misma frecuencia. Al cambiar nuestra posición frente a los altavoces podemos encontrar las regiones nodales donde las interferencias destructivas hacen que solo se escuche un sonido débil. También podemos encontrar las regiones antinodales en las que se recibe una señal fuerte. Por ello el precio de las butacas en los auditorios de música varía más por el patrón de difracción (muy complejo en este caso) del sonido y no tanto por la visibilidad de la orquesta.

La hermosa simetría de estos patrones de interferencia no es accidental. Más bien, todo el patrón está determinado por la longitud de onda λ y la separación de las fuentes d. A partir de estos datos se pueden calcular los ángulos en los que las líneas nodal y antinodal se extienden a ambos lados de A0.

Pero de aquí se sigue algo mucho más interesante. A la inversa, es posible que conozcamos d, y podemos encontrar los ángulos estudiando el patrón de interferencia. En este caso podemos calcular la longitud de onda incluso si no podemos ver las crestas y valles de las ondas directamente. Esto es muy útil porque la mayoría de las ondas en la naturaleza no se pueden ver directamente. Para averiguar su longitud de onda se debe estudiar el patrón de interferencia, buscar las líneas nodales y antinodales y calcular λ a partir de la geometría.

Figura 3

La Figura 3 muestra parte del patrón de la Figura 1. En cualquier punto P de una línea antinodal las ondas de las dos fuentes llegan en fase. Esto puede ocurrir solo si P está igual de lejos de S1 y que de S2, o si P está un número entero de longitudes de onda más lejos de una fuente que de la otra. En otras palabras, la diferencia en distancias (S1P – S2P) debe ser igual a nλ, siendo λ la longitud de onda y n cero o cualquier número entero. En cualquier punto Q de una línea nodal las ondas de las dos fuentes llegan exactamente fuera de fase. Esto ocurre porque Q está un número impar de medias longitudes de onda (1⁄2λ, 3⁄2λ, 5⁄2λ, etc.) más lejos de una fuente que de la otra. Esta condición se puede escribir S1Q – S2Q = (n + 1⁄2)λ.

La distancia desde las fuentes hasta un punto de detección puede ser mucho mayor que la separación de las fuentes d. En ese caso, existe una relación simple entre la posición del nodo, la longitud de onda λ y la separación d. La longitud de onda se puede calcular a partir de las mediciones de las posiciones de las líneas nodales.

Este tipo de análisis permite calcular a partir de mediciones simples realizadas en un patrón de interferencia la longitud de onda de cualquier onda. Esto se aplica rutinariamente a las ondulaciones en el agua, al sonido a todas las escalas o a la luz en todas sus manifestaciones. Este concepto tan simple tiene unos usos impresionantes: desde el estudio del núcleo de la Tierra estudiando las ondas de los terremotos, a las colisiones de agujeros negros que provocan ondas gravitacionales, pasando por el diseño y tarificación de salas de concierto.

Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance

El artículo Patrón de interferencia en ondas periódicas se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

Entradas relacionadas:

1. Patrón de interferencia en pulsos de ondas
2. Tipos de ondas
3. Cuando las ondas se encuentran

Suelo aprovechar estos artículos quincenales para contar noticias científicas que me parecen importantes, curiosas o diferentes de alguna forma. Muchas de ellas tienen que ver con animales porque, qué demonios, me encantan los animales. Me fascina la versatilidad que adopta la vida en nuestro planeta y cómo nos relacionamos con ella los humanos desde nuestra posición de supuesta superioridad (supuesta, digo, porque si es de inteligencia de lo que hablamos, se nos están acabando las formas de medirla en las que salgamos ganando).

Hoy no vengo a hablar de una noticia o una historia. Hoy me he tomado la libertad de escribir algo un poco distinto. Hoy les traigo una recopilación de animales que fueron y ya no son: un repaso por algunos de los grandes mamíferos que una vez caminaron sobre la Tierra, algunos mucho antes que nosotros, los humanos, algunos a la vez durante miles de años para después desaparecer. Una selección hecha desde mi fascinación personal, desde el ingenuo asombro de imaginarme caminando entre las versiones más enormes de los animales que hoy conocemos.

Elasmoterio, el unicornio siberiano

Imagen: Wikimedia Commons

Aunque al pensar en unicornios les damos forma de caballo, algunos expertos creen que en realidad el origen de este ser mitológico pudo ser el elasmoterio o Elasmotherium sibiricum, un mamífero asiático emparentado con los actuales rinocerontes, dotado de un enorme cuerno de más de un metro de largo e inusualmente ancho, producto de la unión de los dos cuernos que tienen los actuales rinocerontes.

Es uno de los 250 especies distintas que se conocen de rinocerontes, de las cuales solo 5 están vivas hoy. Desde hace tiempo se cree que desapareció hace 200.000 años, aunque otro análisis fósil reciente considera que pudo seguir vivo hasta hace 39.000 años, cuando las condiciones climáticas de una glaciación acabaron con ellos.

Megaterio, el perezoso gigante

Imagen: Wikimedia Commons

Megaterio proviene del griego y se traduciría como ‘bestia gigante’. Aunque hablemos de él en singular, de hecho el término Megatherium no se da a una especie sino a un género, es decir, a un grupo de especies de perezosos gigantes, antecesores de los actuales perezosos que vivieron principalmente en América del Sur.

El primer megaterio jamás descubierto se encontró en Argentina en 1785 por un español y directamente enviado a Madrid, donde se conserva hoy y solo hay que acercarse al Museo Nacional de Ciencias Naturales para echarle un vistazo a esos enormes huesos convertidos en piedra. Estos animales podían medir entre 6 y 7 metros de la cola a la cabeza y llegaban a pesar 3 toneladas. Los análisis de sus huesos fosilizados muestran cierta habilidad para alzarse sobre sus dos patas traseras, y su longitud les permitía alcanzar alimentos a los que difícilmente podían llegar otros herbívoros, lo cual suponía una ventaja competitiva.

Algunos estudios apuntan a que vivieron hasta hace unos 10.000 años, cuando la expansión de grupos de cazadores humanos junto con la disminución de sus zonas de hábitat a causa de cambios climáticos los empujaron a la extinción.

Gliptodonte, el gran armadillo

Imagen: Wikimedia Commons

Imaginen un mamífero cuyo aspecto es la mezcla de un perezoso con una tortuga a causa del voluminoso caparazón que carga a sus espaldas. Eso sería, en resumen, un armadillo. Ahora imaginen que mide 3,3 metros de punta a punta, 1,5 metros de alto y pesa 2 toneladas. Eso sería un gliptodonte, un antecesor del actual armadillo que vivió durante el Pleistoceno y que comenzó poblando la zona de Sudamérica pero terminó expandiéndose hacia el norte hasta llegar a Centroamérica.

Se cree que estas moles acorazadas peleaban entre sí utilizando sus musculosas colas dotadas de duros anillos de hueso, igual que los machos de ciervo luchan hoy atacándose con las cornamentas. En un estudio hecho con simulaciones matemáticas, un grupo de paleontólogos concluyó que la fuerza y dureza de sus colas podía llegar a romper el caparazón de otro gliptodonte, causándose heridas de suficiente gravedad como para morir a causa de estas peleas.

Aunque hay evidencias de que los humanos cazaban gliptodontes, quizá para utilizar sus caparazones como refugio, su extinción probablemente se debió a una combinación de causas glimáticas y antropogénicas.

Diprotodonte, el marsupial más grande conocido

Imagen: Wikimedia Commons

Son los primos gigantes de los actuales koalas, enormes marsupiales que vivieron en lo que hoy es Australia y que podían alcanzar el tamaño de un rinoceronte actual: tres metros de la nariz a la cola, dos metros de alto hasta los hombros y más de 2.700 kilos de peso. Al igual que los osos panda, son animales musculados y con una gruesa piel cubierta de pelo dotados de una dentadura de roedor, lo que significa que debían alimentarse de materia vegetal blanda. Al igual que los pandas, debían tener un metabolismo lento y movimientos pausados.

Esto pudo ser, en parte, el motivo de su extinción: fueron presa fácil de los humanos cuando estos poblaron Australia por primera vez, hace ahora unos 50.000 años. Se sabe que se extinguieron poco después de esta llegada, aunque existen varias teorías al respecto, que no son excluyentes: el cambio climático, la caza humana y la costumbre de los aborígenes australianos de quemar extensiones de bosque para abrir terreno donde creciesen plantas jóvenes que sirviesen de alimento a los humanos.

Gigantopiteco, un primate descomunal

Imagen: Wikimedia Commons

Cualquiera que haya visto frente a frente a un gorila macho en plenitud física conoce la sensación intimidante que semejante potencia muscular unida a la innegable inteligencia de sus gestos puede causar en nosotros, alfeñiques físicos la mayoría. La idea de un primate varias veces mayor, el Gigantopithekus blackii, nos hace sentir aun más pequeños y debiluchos.

Unos 3 metros de altura al alzarse sobre las patas traseras y más de 500 kilos debía medir y pesar este enorme animal del que se conocen algunos restos fosilizados en China y Vietnam. Algunos de esos restos sitúan al G. blackii vivo hasta hace unos 100.000 años, lo que quiere decir que convivió temporalmente con el ser humano, el Homo erectus. Con el enfriamiento del clima mermaron y después desaparecieron los bosques que servían de fuente de alimento a estos grandes herbívoros, llevándolos a la extinción.

Referencias:

Evolution and extinction of the giant rhinoceros Elasmotherium sibiricum sheds light on late Quaternary megafaunal extinctions – Nature Echology and Evolution

Megaterio – Ecured

Glyptodon – Wikipedia

Diprotodon – Melbourne Museum

Gigantopithecus – Enciclopaedia Britannica

Giant Ape Lived Alongside Humans – McMaster University

Sobre la autora: Rocío Pérez Benavente (@galatea128) es periodista

El artículo Más allá de los mamuts se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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¿Es mejor tener hijos o no tenerlos? ¿Proporcionan los hijos satisfacciones o desvelos? ¿Quiénes viven mejor, quienes tienen hijos o quienes no los tienen? Esto es objeto de discusión, no solo en la calle, en la familia o la cuadrilla. También se han hecho esta pregunta en el mundo académico.

En un estudio realizado en los Estados Unidos llegaron a la conclusión de que la satisfacción con la vida es ligeramente más alta para quienes tienen hijos que para quienes no los tienen, aunque las diferencias son muy pequeñas. Esa mayor satisfacción se manifiesta en más alegría, sonrisas y disfrute (pero menos tristeza), aunque quienes tienen hijos también experimentan más enfado, preocupación y estrés (pero menos dolor físico).

Ahora bien, se da la circunstancia de que las personas que tienen hijos suelen tener también otras características que proporcionan bienestar. Lo normal es que tengan ingresos más altos, estén casadas, sean más religiosas, estén más sanas y mejor educadas. Y es sabido que esas características influyen de forma favorable en la valoración de la vida. Por lo tanto, podría ocurrir que la razón por la que las personas con hijos valoren algo mejor sus vidas que las que no los tienen no tenga mucho que ver, en el fondo, con los hijos, sino con esos otros factores. Además, podría ser que fuera de los Estados Unidos las cosas fuesen diferentes.

Por esa razón, en un estudio paralelo analizaron datos procedentes de 161 países. De este segundo estudio concluyeron que, en general, los hombres con hijos experimentan emociones más intensas, tanto positivas como negativas. No así las mujeres. De hecho, en dos terceras partes de los países las madres no experimentan emociones positivas de forma más intensa que las que no lo son. Hombres y mujeres viven la experiencia de la paternidad o maternidad de forma diferente, y mejor en el caso de los hombres.

También concluyeron que en las áreas donde las mujeres tienen más hijos, quienes los tienen (padres y madres) tienden a valorar peor sus vidas que quienes no los tienen. Lo contrario ocurre en los países con baja fecundidad; en éstos, las personas que tienen hijos tienden a valorar mejor sus vidas. Esa tendencia es, además, estadísticamente muy significativa. O sea, cuanto mayor es la tasa de fecundidad de un país, más probable es que la gente que tiene hijos esté menos satisfecha con su vida.

En resumen, la valoración de la vida y su relación con la paternidad o maternidad depende mucho de las circunstancias. En los países que no han iniciado aún la transición demográfica, tener hijos hace que la vida resulte menos gratificante o más penosa, y las cosas son aún peores para las mujeres. En estos países la paternidad y, sobre todo, la maternidad no suelen ser opciones voluntarias. Sin embargo, una vez se ha producido la transición demográfica, los hijos suelen ser el resultado de una elección y quizás no quepa esperar que tenerlos o no tenerlos vaya a afectar en un sentido u otro a la valoración de la vida. Al fin y al cabo, si se trata del resultado de una elección libre, quien desea tener hijos ya se ha hecho su composición de lugar y aunque no es posible anticipar cómo saldrá la experiencia, al menos ha hecho lo que creía le iba a proporcionar una vida mejor. Y lo mismo cabe decir para quien ha decidido no tenerlos. Así pues, seguramente no tiene demasiado sentido preguntarse acerca de si la vida es mejor o peor por el hecho de tener o no tener hijos.

Fuente: Angus Deaton y Arthur A. Stone (2014): “Evaluative and hedonic wellbeing among those with and without children at home” PNAS 111 (4): 1328–1333

Sobre el autor: Juan Ignacio Pérez (@Uhandrea) es catedrático de Fisiología y coordinador de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU

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Una versión anterior de este artículo fue publicada en el diario Deia el 23 de septiembre de 2018.

El artículo ¿Tener hijos o no tenerlos? se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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1. Tener o no tener (patas): la curiosa historia del ave del paraíso
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3. Hijos de la supernova

Las pruebas de la educación es un evento que en su tercera edición tuvo lugar por primera vez en Donostia-San Sebastián, el pasado 9 de noviembre, en el Centro Carlos Santamaría de la UPV/EHU, organizado por el Consejo Escolar de Euskadi, con la colaboración de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU.

Este evento tiene el objetivo de abordar distintos temas educativos desde la evidencia científica. Para ello, reúne a personas del ámbito educativo para que expliquen y debatan acerca de las pruebas (o su ausencia) que sustentan las afirmaciones, propuestas y prácticas educativas que están en boga o, en su caso, las pruebas que sustentan otras posibles prácticas. La dirección del evento corrió a cargo de la doctora en Psicología Marta Ferrero.

Luis Lizasoain es profesor de Métodos de Investigación en Educación en la Facultad de Educación, Filosofía y Antropología de la UPV/EHU. Su línea de investigación se centra en la evaluación de programas, centros y sistemas educativos con especial atención a las evaluaciones educativas a gran escala y a los estudios de eficacia y mejora escolar. En esta conferencia nos describe los distintos criterios de eficacia escolar y los factores asociados, con especial atención a las cuestiones relativas a personal docente y a las familias.

Edición realizada por César Tomé López

El artículo Criterios de eficacia escolar y factores asociados a la misma se ha escrito en Cuaderno de Cultura Científica.

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1. Estudio de eficacia escolar en el País Vasco
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